選修4-5學案 §2.1.3不等式的的證明(3) 姓名
☆學習目標： 1. 理解並掌握反證法、換元法與放縮法;
2. 會利用反證法、換元法與放縮法證明不等式
知識情景：
1. 不等式證明的基本方法：10. 比差法與比商法(兩正數時)．
20. 綜合法和分析法．
30. 反證法、換元法、放縮法
2. 綜合法：從①已知條件、②不等式的性質、③基本不等式等出發,
通過邏輯推理, 推導出所要證明的結論. 這種證明方法叫做綜合法.
又叫由導法.
用綜合法證明不等式的邏輯關係：
3. 分析法：從要證的結論出發, 逐步尋求使它成立的充分條件,
直至所需條件為已知條件或乙個明顯成立的事實(定義、公理或已證的定理、性質等),
從而得出要證的命題成立,這種證明方法叫做分析法.
這是一種執索的思考和證明方法.
用分析法證明不等式的邏輯關係：
新知建構：
1.反證法：利用反證法證明不等式，一般有下面幾個步驟：
第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結論；
第二步作出與所證不等式相反的假定；
第三步從條件和假定出發，應用證確的推理方法，推出矛盾結果；
第四步斷定產生矛盾結果的原因，在於開始所作的假定不正確，於是原證不等式成立.
例1已知+ b + c > 0， b + bc + c > 0， bc > 0，求證：, b, c > 0 .
2.換元法：一般由代數式的整體換元、三角換元，換元時要注意等價性.
常用的換元有三角換元有：
10．已知，可設
20．已知，可設
30．已知，可設
例2 設實數滿足，當時，的取值範圍是
例3 已知，求證：
3. 放縮法：「放」和「縮」的方向與「放」和「縮」的量的大小
由題目分析、多次嘗試得出,要注意放縮的適度.
常用的方法是：①新增或捨去一些項，如：，，
將分子或分母放大（或縮小）如：
應用「糖水不等式」：「若，，則」
利用基本不等式，如：；
利用函式的單調性
⑥利用函式的有界性：如：≤；
⑦絕對值不等式：≤≤；
⑧利用常用結論：如： ，
⑨應用貝努利不等式：
例4 當 n > 2 時，求證：
例5求證：
例6 若a, b, c, dr+，求證：
選修4-5練習2.1.3不等式的證明(3) 姓名
1、設二次函式，求證：中至少有乙個不小於.
2、設0 < a, b, c < 1，求證：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同時大於
3、已知，求證：（且）.
4、若x, y > 0，且x + y >2，則和中至少有乙個小於2。
5、已知≤≤，求證：≤≤
6、設，，求證：；
7、求證：
8、求證
9、設為大於1的自然數，求證
10、若是自然數，求證
11、求證： ≥
12、求證：
參***:
例1例2
例3放縮法：「放」和「縮」的方向與「放」和「縮」的量的大小是由題目分析、多次嘗試得出,要注意放縮的適度。常用的方法是：
①新增或捨去一些項，如：，，
②將分子或分母放大（或縮小）
③真分數的性質：「若，，則」
④利用基本不等式，如：；
⑤利用函式的單調性
⑥利用函式的有界性：如：≤；≥；
⑦利用常用結論：
ⅰ、，ⅱ、；（程度大）
ⅲ、； （程度小）
⑧絕對值不等式：≤≤；⑨應用二項式定理.
構造法：通過建構函式、方程、數列、向量或不等式來證明不等式.
貝努利不等式
例如，對於任何和任何正整數，由牛頓二項式定理可得
捨掉等式右邊第三項及其以後的各項，可以得到不等式：.
在後面章節的學習中，我們將會用數學歸納法證明這一不等式的正確性。
該不等式不僅當是正整數的時候成立，而且當是任何大於1的有理數的時候也成立。
這就是著名的貝努利不等式。
在今後的學習中,可以利用微積分證明更一般的貝努利不等式：設，
則在或時，，在時，
例4證：∵n > 2 ∴
∴∴n > 2時,
例5證明：由（是大於2的自然數）
得例6證：記m =
∵a, b, c, dr+
∴1 < m < 2 即原式成立。
練習1．證明：假設都小於，則
1） 另一方面，由絕對值不等式的性質，有
2） （1）、（2）兩式的結果矛盾，所以假設不成立，原來的結論正確。
注意：諸如本例中的問題，當要證明幾個代數式中，至少有乙個滿足某個不等式時，
通常採用反證法進行。
議一議：一般來說，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結果，通常是指所推出
的結果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時假定矛盾等各
種情況。試根據上述兩例，討論尋找矛盾的手段、方法有什麼特點？
2、 證：設(1 a)b >, (1 b)c >, (1 c)a >,
則三式相乘：ab < (1 a)b(1 b)c(1 c)a < ①
又∵0 < a, b, c < 1 ∴
同理：,
以上三式相乘： (1 a)a(1 b)b(1 c)c≤ 與①矛盾. ∴原式成立
4提示：反設≥2，≥2 ∵x, y > 0，可得x + y ≤2 與x + y >2矛盾。
10 證明：
注意：實際上，我們在證明的過程中，已經得到乙個更強的結
論，這恰恰在一定程度上體現了放縮法的基本思想。
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