不等式選講
(一)絕對值不等式
導學目標：1.理解絕對值的幾何意義，並能利用含絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式：
(1)|a＋b|≤|a|＋|b|，(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2.會利用絕對值的幾何意義求解以下型別的不等式：
|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.
自主梳理
1．含的不等式叫做絕對值不等式．
2．解含有絕對值的不等式的方法關鍵是去掉絕對值符號，基本方法有如下幾種：
(1)分段討論：
根據|f(x)|＝去掉絕對值符號．
(2)利用等價不等式：
|f(x)|≤g(x)－g(x)≤f(x)≤g(x)；
|f(x)|≥g(x)f(x)≤－g(x)或f(x)≥g(x)．
(3)兩端同時平方：即運用移項法則，使不等式兩邊都變為非負數，再平方，從而去掉絕對值符號．
3．形如|x－a|＋|x－b|≥c (a≠b)與|x－a|＋|x－b|≤c (a≠b)的絕對值不等式的解法主要有三種：
(1)運用絕對值的幾何意義；
(2(3)構造分段函式，結合函式圖象求解．
4．(1)定理：如果a，b，c是實數，則|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當且僅當時，等號成立．
(2)重要絕對值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
使用時(特別是求最值時)要注意等號成立的條件，即
|a＋b|＝|a|＋|b|ab≥0；
|a－b|＝|a|＋|b|ab≤0；
|a|－|b|＝|a＋b|b(a＋b)≤0；
|a|－|b|＝|a－b|b(a－b)≥0；
注：|a|－|b|＝|a＋b||a|＝|a＋b|＋|b||(a＋b)－b|＝|a＋b|＋|b|b(a＋b)≤0.
同理可得|a|－|b|＝|a－b|b(a－b)≥0.
自我檢測
1．(2010·江西)不等式＞的解集是( )
a．(0,2b．(－∞，0)
c．(2d．(－∞，0)∪(0，＋∞)
2．(2011·天津)已知集合a＝，b＝，則集合a∩b
3．(2011·濰坊模擬)已知不等式|x＋2|＋|x－3|≤a的解集不是空集，則實數a的取值範圍是( )
a．a<5b．a≤5
c．a>5d．a≥5
4．若不等式|x＋1|＋|x－2|5．(2009·福建)解不等式|2x－1|<|x|＋1.
**點一解絕對值不等式
例1 解下列不等式：
(1)1<|x－2|≤3；
(2)|2x＋5|>7＋x；
(3)|x－1|＋|2x＋1|<2.
變式遷移1 (2011·江蘇)解不等式x＋|2x－1|<3.
**點二絕對值不等式的恆成立問題
例2 (2011·商丘模擬)已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m.
(1)若不等式有解；
(2)若不等式解集為r；
(3)若不等式解集為.
分別求出實數m的取值範圍．
變式遷移2 設函式f(x)＝|x－1|＋|x－2|，若f(x)>a對x∈r恆成立，求實數a的取值範圍．
**點三絕對值三角不等式定理的應用
例3 「|x－a|<，且|y－a|<」是「|x－y|<ε」(x，y，a，ε∈r)的( )
a．充分而不必要條件 b．必要而不充分條件
c．充要條件d．既不充分也不必要條件
變式遷移3 (1)求函式y＝|x＋2|－|x－2|的最大值；
(2)求函式y＝|x－3|＋|x＋2|的最小值．
轉化與化歸思想的應用
例 (10分)設a∈r，函式f(x)＝ax2＋x－a (－1≤x≤1)，
(1)若|a|≤1，求證：|f(x)|≤；(2)求a的值，使函式f(x)有最大值.
多角度審題第(1)問|f(x)|≤－≤f(x)≤，因此證明方法有兩種，一是利用放縮法直接證出|f(x)|≤；二是證明－≤f(x)≤亦可．第(2)問實質上是已知f(x)的最大值為，求a的值．由於x∈[－1,1]，f(x)是關於x的二次函式，那麼就需判斷對稱軸對應的x值在不在區間[－1,1]上．
【答題模板】
證明 (1)方法一 ∵－1≤x≤1，∴|x|≤1.又∵|a|≤1，
∴|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x|≤|x2－1|＋|x|＝1－|x|2＋|x|
＝－2＋≤.[3分]
∴若|a|≤1，則|f(x)|≤.[5分]
方法二設g(a)＝f(x)＝ax2＋x－a＝(x2－1)a＋x.
∵－1≤x≤1，
∴當x＝±1，
即x2－1＝0時，|f(x)|＝|g(a)|＝1≤；[1分]
當－1∵|a|≤1，∴－1≤a≤1，∴g(a)max＝g(－1)＝－x2＋x＋1＝－2＋；[3分]
g(a)min＝g(1)＝x2＋x－1＝2－.[4分]
∴|f(x)|＝|g(a)|≤.[5分]
(2)當a＝0時，f(x)＝x，當－1≤x≤1時，f(x)的最大值為f(1)＝1，不滿足題設條件，
∴a≠0.[6分]
又f(1)＝a＋1－a＝1，f(－1)＝a－1－a＝－1.
故f(1)和f(－1)均不是最大值，[7分]
∴f(x)的最大值應在其對稱軸上的頂點位置取得，
∴命題等價於，[9分]
解得，∴a＝－2.即當a＝－2時，函式f(x)有最大值.[10分]
【突破思維障礙】
由於|a|≤1，f(x)的表示式中有兩項含有a，要想利用條件|a|≤1，必須合併含a的項，從而找到解題思路；另外，由於x的最高次數為2，而a的最高次數為1，把ax2＋x－a看作關於a的函式更簡單，這兩種方法中，對a的合併都是很關鍵的一步．
【易錯點剖析】
在第(1)問中的方法一中，如果不合併含a的項，就無法正確應用條件|a|≤1，從而導致出錯或證不出；方法二也需要先合併含a的項後，才容易把f(x)看作g(a)．
解含有絕對值不等式時，去掉絕對值符號的方法主要有：公式法、分段討論法、平方法、幾何法等．這幾種方法應用時各有利弊，在解只含有乙個絕對值的不等式時，用公式法較為簡便；但是若不等式含有多個絕對值時，則應採用分段討論法；應用平方法時，要注意只有在不等式兩邊均為正的情況下才能運用．因此，在去絕對值符號時，用何種方法需視具體情況而定．
課後檢測(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．不等式|x2－x|<2的解集為( )
a．(－1,2b．(－1,1)
c．(－2,1d．(－2,2)
2．(2011·鄭州期末)設|a|<1，|b|<1，則|a＋b|＋|a－b|與2的大小關係是( )
a．|a＋b|＋|a－b|>2b．|a＋b|＋|a－b|<2
c．|a＋b|＋|a－b|＝2d．不能比較大小
3．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a對任意實數x恆成立，則實數a的取值範圍為( )
a．(－∞，－1]∪[4b．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
c．[1,2d．(－∞，1]∪[2，＋∞)
4．若不等式|8x＋9|<7和不等式ax2＋bx>2的解集相等，則實數a、b的值分別為( )
a．a＝－8，b＝－10b．a＝－4，b＝－9
c．a＝－1，b＝9d．a＝－1，b＝2
5．若關於x的不等式|x－1|＋|x－3|≤a2－2a－1在r上的解集為，則實數a的取值範圍是( )
a．a<－1或a>3b．－1c．－1二、填空題(每小題4分，共12分)
6．給出以下三個命題：
①若|a－b|<1，則|a|<|b|＋1；②若a、b∈r，則|a＋b|－2|a|≤|a－b|；③若|x|<2，|y|>3，則<.其中所有正確命題的序號是
7．(2010·陝西)不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集為________．
8．(2011·深圳模擬)若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋對任意的實數x恆成立，則實數a的取值範圍是
三、解答題(共38分)
9．(12分)(2010·福建)已知函式f(x)＝|x－a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集為，求實數a的值；
(2)在(1)的條件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m對一切實數x恆成立，求實數m的取值範圍．
10．(12分)(2009·遼寧)設函式f(x)＝|x－1|＋|x－a|.
(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；
(2)如果x∈r，f(x)≥2，求a的取值範圍．
11．(14分)對於任意實數a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|(|x－1|＋|x－2|)恆成立，試求實數x的取值範圍．
絕對值不等式
選修4 5學案1.2.1絕對值不等式 學習目標 1.對深化絕對值的定義及其幾何意義的理解和掌握 2.理解關於絕對值三角不等式並會簡單應用 許多不等關係都涉及到距離的長短 面積或體積的大小 重量，等等，它們都要通過非負數來表示.因此，研究含有絕對值的不等式具有重要大的意義.建構新知 1 絕對值的定義 ...
絕對值不等式證明
江蘇省鄭梁梅高階中學高二數學教案 理 主備人 馮龍雲做題人 顧華章審核人 曾慶亞課題 含有絕對值的不等式的證明 教學目標 掌握利用絕對值的幾何意義證明不等式與的思路方法，並能利用它們證明一些簡單的絕對值不等式。教學重點 利用絕對值不等式的幾何意義證明絕對值不等式一 建構數學 絕對值不等式的性質 性質...
絕對值不等式解法
課題 1.4絕對值不等式的解法 二 教學目的 1 鞏固與型不等式的解法，並能熟練地應用它解決問題 掌握分類討論的方法解決含多個絕對值的不等式以及含引數的不等式 2 培養數形結合的能力，分類討論的思想，培養通過換元轉化的思想方法，培養抽象思維的能力 3 激發學習數學的熱情，培養勇於探索的精神，勇於創新...