絕對值不等式

選修4-5學案1.2.1絕對值不等式

☆學習目標： 1.對深化絕對值的定義及其幾何意義的理解和掌握;

2. 理解關於絕對值三角不等式並會簡單應用

☆**：許多不等關係都涉及到距離的長短、面積或體積的大小、重量，等等，它們都要通過非負數來表示.因此，研究含有絕對值的不等式具有重要大的意義.

建構新知：

1．絕對值的定義：，

2. 絕對值的幾何意義：

⑴實數的絕對值，表示數軸上座標為的點a

⑵兩個實數，它們在數軸上對應的點分別為，

那麼的幾何意義是

建構新知：含絕對值不等式的解法

3．設為正數, 根據絕對值的意義，不等式的解集是

它的幾何意義就是數軸上的點的集合是開區間如圖所示.

4．設為正數, 根據絕對值的意義，不等式的解集是

它的幾何意義就是數軸上的點的集合是開區間如圖所示.

5．設為正數, 則⑴;

設, 則. 6

案例學習：

解不等式．

［題1］解不等式．

［收穫］1）一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我們解不等式的基礎，無論是解高次不等式、絕對值不等式還是解無理根式不等式，最終是通過代數變形後，轉化為一元一次不等式、一元二次不等式組來求解。

2）本題也可用數形結合法來求解。在同一座標系中畫出函式的圖象，解方程，再對照圖形寫出此不等式的解集。

練習: 解不等式.

第1變右邊的常數變代數式

例2.解不等式(1); (2).

［收穫］形如||<，||>型不等式

這類不等式的簡捷解法是等價命題法，即：

①||<－<<

②||>>或<－

練習:解不等式（1）｜x-x2-2｜>x2-3x-4；（2）≤1

2.方程的解集為不等式的解集是

第2變含兩個絕對值的不等式

［變題2］解不等式（1）|－1|<|+1|；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.

若將(1)更改為|－1|<|+|，如何求解？

［收穫］1）形如||<||型不等式

此類不等式的簡捷解法是利用平方法，即：

||<||<0

2）所謂零點分段法，是指：若數，，……，分別使含有的代數式中相應絕對值為零，稱，，……，為相應絕對值的零點，零點，，……，將數軸分為+1段，利用絕對值的意義化去絕對值符號，得到代數式在各段上的簡化式，從而化為不含絕對值符號的一般不等式來解，即令每項等於零，得到的值作為討論的分割槽點，然後再分區間討論絕對值不等式，最後應求出解集的並集。零點分段法是解含絕對值符號的不等式的常用解法，這種方法主要體現了化歸、分類討論等數學思想方法，它可以把求解條理化、思路直觀化

練習1.設函式．

解不等式；求函式的最值．

2. 解不等式(1); (2) .

3 畫出不等式的圖形，並指出其解的範圍。利用不等式的圖形解不等式

第3變解含參絕對值不等式

［變題3］解關於x的不等式

［收穫］1）一題有多解，方法的選擇更重要。

2）形如||<，||> ()型不等式

此類不等式的簡捷解法是等價命題法，即：

1 當》0時，||<－<<；||>>或<－；

2 當=0時，||《無解，||>≠0

3 當<0時，||《無解，||>有意義。

練習．關於的不等式|－1|≤5的解集為，求的值。

2.（北京春）若不等式的解集為，則實數等於( )

第4變含參絕對值不等式有解、解集為空與恆成立問題

［變題4］若不等式|－4|+|3－|《的解集為空集，求的取值範圍.

［收穫］1）一題有多法，解題時需學會尋找最優解法。

2）有解；有解；

解集為空集；解集為空集

恆成立; 恆成立

有解；有解

解集為空集;；解集為空集；

恆成立恆成立

3．已知a>0,不等式|x-4|+|x-3|分析（一）|x-4|+|x-3||x-4—(x-3)|=1

當|x-4|+|x-3|1

（二）如圖，實數x、3、4在數軸上的對應點分別為p、a、b則有：

y=|x-4|+|x-3|=|pa|+|pb|

|pa|+|pb|1 恒有y1

數按題意只須a>1a b p

0 3 4 x

（三）令y=f(x)=|x-4|+|x-3|作出其圖象

由f(x)1y3

210 3 4 x

（四）考慮|z-4|+|z-3|當a>1時，表示復平面上以3、4為焦點，長軸長為a的橢圓內部，當z為實數時，a>1原不等式有解a>1即為所求

（五）可利用零點分段法討論.

將數軸可分為(-∞，3)，［3，4］，(4，+∞)三個區間.

當x<3時，得(4-x)+(3-x).

有解條件為<3 即a>1

當3≤x≤4時得(4-x)+(x-3)1

當x>4時，得(x-4)+(x-3)有解條件為》4 即a>1

以上三種情況中任乙個均可滿足題目要求，故求它們的並集，即仍為a>1.

評注：1、此題運用了絕對值的定義，絕對值不等式的性質，以及絕對值的幾何意義等多種方法。

2、建構函式及數形結合的方法，是行之有效的常用方法

變題：1、若不等式|x-4|+|x-3|>a對於一切實數x恆成立，求a的取值範圍

2、若不等式|x-4|-|x-3|3、若不等式|x-4|-|x-3|>a在r上恆成立，求a的取值範圍

練習：1. 不等式 >，對一切實數都成立，則實數的取值範圍是

對任意實數，恆成立，則的取值範圍是

若關於的不等式的解集不是空集，則的取值範圍是

5．已知，≤，且，求實數的範圍.

已知方程有實數解，則a的取值範圍為

第5變絕對值不等式與其它知識的橫向聯絡

［變題5］（2023年全國高考試題）已知.設

函式在r上單調遞減.

不等式的解集為r.

如果和有且僅有乙個正確，求的取值範圍.

［思路］此題雖是一道在老教材之下的高考試題，但揭示了「解不等式」一類高考試題的命題方向.在新教材中，絕對值不等式的解法和二次不等式的解法與集合運算、命題判斷都有一定聯絡，屬於對於學生提出的基本要求內容的範疇，本題將這幾部分知識內容有機地結合在一起，在考查學生基礎知識、基本方法掌握的同時，考查了學生命題轉換，分類討論等能力，在不同的方法下有不同的運算量，較好地體現出了「多考一點想，少考一點算」的命題原則.

［收穫］「解不等式」一類的命題可以有形式上的更新和內容上的變化.結合簡易邏輯的概念和集合的語言來命題，借助集合的運算性質和四個命題的關係來作答，是這個命題的基本特徵，在求解時則主要以化歸思想為解題切入點.複習中對於此類問題要引起足夠的重視.

1．（2004屆湖北省黃岡中學綜合測試題）已知條件和條件，請選取適當的實數的值，分別利用所給的兩個條件作為a、b構造命題：「若a則b」，並使得構造的原命題為真命題，而其逆命題為假命題.則這樣的乙個原命題可以是什麼？

並說明為什麼這一命題是符合要求的命題.

[分析] 本題為一開放性命題，由於能得到的答案不唯一，使得本題的求解沒有固定的模式，考生既能在一般性的推導中找到乙個滿足條件的，也能先猜後證，所找到的實數只需滿足，且1即可.這種新穎的命題形式有較強的綜合性，同時也是對於四個命題考查的一種新嘗試，如此命題可以考查學生**問題、解決問題的能力，符合當今倡導研究性學習的教學方向.

[解答] 已知條件即，或，∴，或，

已知條件即，∴，或；

令，則即，或，此時必有成立，反之不然.

故可以選取的乙個實數是，a為，b為，對應的命題是若則，

由以上過程可知這一命題的原命題為真命題，但它的逆命題為假命題.

2．已知；是的必要不充分條件，求實數的取值範圍.

[分析] 本題實為上一命題的姊妹題，將命題的表述重心移至充要條件，使用了學生較為熟悉的語言形式.充要條件是乙個十分重要的數學概念，新教材將這一內容的學習放在第一章，從而也可能利用第一章的知識內容來命題考查這一概念.本例是一道揉絕對值不等式、二次不等式的求解與充要條件的運用於一起的較好試題，要求學生能正確運用數學符號，規範數學學習行為，否則連讀題審題都感困難.

[解答] 由得，

由，得，

∴即，或，而即，或；

由是的必要不充分條件，知，

設a=，b=，

則有a，故且不等式中的第

一、二兩個不等式不能同時取等號，

解得，此即為「是的必要不充分條件」時實數的取值範圍.

選修4-5練習含絕對值不等式的解法姓名

解不等式

12、34、.

絕對值不等式

絕對值不等式證明

絕對值不等式解法

絕對值三角不等式

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