典型例題一
例1 解不等式
分析：解含有絕對值的不等式，通常是利用絕對值概念，將不等式中的絕對符號去掉，轉化成與之同解的不含絕對值的不等式（組），再去求解．去絕對值符號的關鍵是找零點（使絕對值等於零的那個數所對應的點），將數軸分成若干段，然後從左向右逐段討論．
解：令，∴ ，令，∴，如圖所示．
（1）當時原不等式化為
∴與條件矛盾，無解．
（2）當時，原不等式化為．
∴ ，故．
（3）當時，原不等式化為
．∴，故．
綜上，原不等式的解為．
說明：要注意找零點去絕對值符號最好畫數軸，零點分段，然後從左向右逐段討論，這樣做條理分明、不重不漏．
典型例題二
例2 求使不等式有解的的取值範圍．
分析：此題若用討論法，可以求解，但過程較繁；用絕對值的幾何意義去求解十分簡便．
解法一：將數軸分為三個區間
當時，原不等式變為有解的條件為，即；
當時，得，即；
當時，得，即，有解的條件為 ∴．
以上三種情況中任乙個均可滿足題目要求，故求它們的並集，即仍為．
解法二：設數，3，4在數軸上對應的點分別為p，a，b，如圖，由絕對值的幾何定義，原不等式的意義是p到a、b的距離之和小於．
因為，故數軸上任一點到a、b距離之和大於（等於1），即，故當時，有解．
典型例題三
例3 已知，求證．
分析：根據條件湊．
證明：．
說明：這是為學習極限證明作的準備，要習慣用湊的方法．
典型例題四
例4 求證
分析：使用分析法
證明 ∵，∴只需證明，兩邊同除，即只需證明
，即 當時，；當時，
，原不等式顯然成立．∴原不等式成立．
說明：在絕對值不等式的證明，常用分析法．本例也可以一開始就用定理：
（1）如果，則，原不等式顯然成立．
（2）如果，則，利用不等式的傳遞性知，，∴原不等式也成立．
典型例題五
例5 求證．
分析：本題的證法很多，下面給出一種證法：比較要證明的不等式左右兩邊的形式完全相同，使我們聯想利用建構函式的方法，再用單調性去證明．
證明：設．
定義域為｛，且｝，分別在區間，區間上是增函式．又，∴
即∴原不等式成立．
說明：在利用放縮法時常常會產生如下錯誤：
∵，，∴．
錯誤在不能保證，．絕對值不等式在運用放縮法證明不等式時有非常重要的作用，其形式轉化比較靈活．放縮要適度，要根據題目的要求，及時調整放縮的形式結構．
典型例題六
例6 關於實數的不等式與的解集依次為與，求使的的取值範圍．
分析：分別求出集合、，然後再分類討論．
解：解不等式，，∴．
解不等式，．
當時（即時），得．
當時（即時），得．
當時，要滿足，必須故；
當時，要滿足，必須
∴．所以的取值範圍是．
說明：在求滿足條件的時，要注意關於的不等式組中有沒有等號，否則會導致誤解．
典型例題七
例6 已知數列通項公式對於正整數、，當時，求證：．
分析：已知數列的通項公式是數列的前項和，它的任意兩項差還是某個數列的和，再利用不等式，問題便可解決．
證明：∵∴．
說明：是以為首項，以為公比，共有項的等比數列的和，誤認為共有項是常見錯誤．
正余弦函式的值域，即，，是解本題的關鍵．本題把不等式、三角函式、數列、個變數的絕對值不等式問題連在一起，是乙個較為典型的綜合題目．如果將本題中的正弦改為余弦，不等式同樣成立．
典型例題八
例8 已知，，求證：
分析：本題中給定函式和條件，注意到要證的式子右邊不含，因此對條件的使用可有幾種選擇：(1)直接用；(2)開啟絕對值用，替出；(3)用絕對值的性質進行替換．
證明：∵，∴，
∵，∴．∴，∴
，即．說明：這是絕對值和函式的綜合題，這類題通常要涉及絕對值及絕對值不等式的性質等綜合知識的運用．分析中對條件使用時出現的三種可能是經常碰到的，要結合求證，靈活選用．
典型例題九
例9 不等式組的解集是（ ）．
ab．cd．分析：本題是考查含有絕對值不等式的解法，由，知，∴，又，∴，解原不等式組實為解不等式（）．
解法一：不等式兩邊平方得：．
∴，即，
∴，又．
∴ ∴．選c．
解法二：∵，∴可分成兩種情況討論：
(1)當時，不等式組化為（）．
解得．(2)當時，不等式組可化為（），
解得．綜合(1)、(2)得，原不等式組的解為，選c．
說明：本題是在的條件下，解乙個含絕對值的分式不等式，如何去絕對值是本題的關鍵所在，必須注意，只有在保證兩邊均為非負數時，才能將不等式兩邊同時平方．另一種方法則是分區間討論，從而去掉絕對值符號．當然本題還可用特殊值排除法求解．
典型例題十
例10 設二次函式(，且)，已知，，，，當時，證明．
分析：從知，二次函式的影象是開口向上的拋物線；從且，知，要求證的是，所以拋物線的頂點一定在軸下方，取絕對值後，影象翻到軸上方．因此拋物線的頂點的取值非常重要，也是解這道題的關鍵所在．
證明：∵
，∴．又∵，∴．
∴．又，，
∴ ．
而的影象為開口向上的拋物線，且，，
∴的最大值應在，或處取得．
∵，，，
∴．說明：本題考查了絕對值不等式的性質、二次函式的最值及分類討論的思想和邏輯思維的能力，關鍵是通過對引數，，的分析，確定拋物線頂點的取值範圍，然後通過比較求出函式在範圍內的最大值．
數學百大經典例題 絕對值不等式 新課標
典型例題一 例1 解不等式 分析 解含有絕對值的不等式，通常是利用絕對值概念，將不等式中的絕對符號去掉，轉化成與之同解的不含絕對值的不等式 組 再去求解 去絕對值符號的關鍵是找零點 使絕對值等於零的那個數所對應的點 將數軸分成若干段，然後從左向右逐段討論 解 令，令，如圖所示 1 當時原不等式化為 ...
38百大經典例題 絕對值不等式 新課標
典型例題一 例1 解不等式 分析 解含有絕對值的不等式，通常是利用絕對值概念，將不等式中的絕對符號去掉，轉化成與之同解的不含絕對值的不等式 組 再去求解 去絕對值符號的關鍵是找零點 使絕對值等於零的那個數所對應的點 將數軸分成若干段，然後從左向右逐段討論 解 令，令，如圖所示 1 當時原不等式化為 ...
數學百大經典例題 不等式證明
典型例題一 例1 若，證明 且 分析1 用作差法來證明 需分為和兩種情況，去掉絕對值符號，然後比較法證明 解法1 1 當時，因為 所以 2 當時，因為 所以 綜合 1 2 知 分析2 直接作差，然後用對數的性質來去絕對值符號 解法2 作差比較法 因為，所以 說明 解法一用分類相當於增設了已知條件，便...