典型例題一
例1 若，證明（且）．
分析1 用作差法來證明．需分為和兩種情況，去掉絕對值符號，然後比較法證明．
解法1 （1）當時，
因為，所以 ．
（2）當時，
因為所以
．綜合（1）（2）知．
分析2 直接作差，然後用對數的性質來去絕對值符號．
解法2 作差比較法．
因為，所以．
說明：解法一用分類相當於增設了已知條件，便於在變形中脫去絕對值符號；解法二用對數性質（換底公式）也能達到同樣的目的，且不必分而治之，其解法自然簡捷、明快．
典型例題二
例2 設，求證：
分析：發現作差後變形、判斷符號較為困難．考慮到兩邊都是正數，可以作商，判斷比值與1的大小關係，從而證明不等式．
證明：∵，∴∴. ∴
又∵，∴.
說明：本題考查不等式的證明方法——比較法(作商比較法).作商比較法證明不等式的步驟是：判斷符號、作商、變形、判斷與1的大小.
典型例題三
例3 對於任意實數、，求證（當且僅當時取等號）
分析這個題若使用比較法來證明，將會很麻煩，因為，所要證明的不等式中有，展開後很複雜。若使用綜合法，從重要不等式：出發，再恰當地利用不等式的有關性質及「配方」的技巧可得到證明。
證明：∵（當且僅當時取等號）
兩邊同加，
即1）又：∵ （當且僅當時取等號）
兩邊同加
∴2）由（1）和（2）可得（當且僅當時取等號）．
說明：此題參考用綜合法證明不等式．綜合法證明不等式主要是應用均值不等式來證明，要注意均值不等式的變形應用，一般式子中出現有平方和乘積形式後可以考慮用綜合法來解．
典型例題四
例4 已知、、，，求證
分析顯然這個題用比較法是不易證出的。若把通分，則會把不等式變得較複雜而不易得到證明．由於右邊是乙個常數，故可考慮把左邊的式子變為具有「倒數」特徵的形式，比如，再利用「均值定理」就有可能找到正確的證明途徑，這也常稱為「湊倒數」的技巧．
證明：∵
∴∵，同理：，。
∴說明：此題考查了變形應用綜合法證明不等式．題目中用到了「湊倒數」，這種技巧在很多不等式證明中都可應用，但有時要首先對代數式進行適當變形，以期達到可以「湊倒數」的目的．
典型例題五
例５ 已知，求證：＞0.
分析：此題直接入手不容易，考慮用分析法來證明，由於分析法的過程可以用綜合法來書寫，所以此題用兩種方法來書寫證明過程.
證明一：(分析法書寫過程)
為了證明＞0
只需要證明＞∵∴
∴＞0∴＞成立
∴＞0成立
證明二：(綜合法書寫過程)
∵∴∴＞ ＞0
∴＞成立
∴＞0成立
說明：學會分析法入手，綜合法書寫證明過程，但有時這兩種方法經常混在一起應用，混合應用時，應用語言敘述清楚.
典型例題六
例6 若，且，求證：
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分析這個不等式從形式上不易看出其規律性，與我們掌握的定理和重要的結論也沒有什麼直接的聯絡，所以可以採用分析的方法來尋找證明途徑．但用「分析」法證不等式，要有嚴格的格式，即每一步推出的都是上一步的充分條件，直到推出的條件是明顯成立的（已知條件或某些定理等）．
證明：為要證
只需證，
即證，也就是，
即證，即證，
∵，∴，故即有，
又由可得成立，
∴ 所求不等式成立．
說明：此題考查了用分析法證明不等式．在題目中分析法和綜合法是綜合運用的，要注意在書寫時，分析法的書寫過程應該是：「欲證……需證……」，綜合法的書寫過程是：
「因為（∵）……所以（∴）……」，即使在乙個題目中是邊分析邊說明也應該注意不要弄混．
典型例題七
例7 若，求證．
分析：本題結論的反面比原結論更具體、更簡、宜用反證法．
證法一：假設，則，
而，故．
∴．從而，
∴．[**
∴．∴．
這與假設矛盾，故．
證法二：假設，則，
故，即，即，
這不可能．從而．
證法三：假設，則．
由，得，故．
又，∴．
∴，即．
這不可能，故．
說明：本題三種方法均採用反證法，有的推至與已知矛盾，有的推至與已知事實矛盾．
一般說來，結論中出現「至少」「至多」「唯一」等字句，或結論以否定語句出現，或結論肯定「過頭」時，都可以考慮用反證法．
典型例題八
例8 設、為正數，求證．
分析：用綜合法證明比較困難，可試用分析法．
證明：要證，只需證，
即證，化簡得，．
∵，∴．
∴．∴原不等式成立．
說明：1．本題證明易出現以下錯誤證法：，，然後分(1)；(2)；(3)且；(4)且來討論，結果無效．
2．用分析法證明數學問題，要求相鄰兩步的關係是，前一步是後一步的必要條件，後一步是前一步的充分條件，當然相互為充要條件也可以．
典型例題九
例9 已知，求證．
分析：聯想三角函式知識，進行三角換元，然後利用三角函式的值域進行證明．
證明：從條件看，可用三角代換，但需要引入半徑引數．
∵，∴可設，，其中．
∴．由，故．
而，，故．
說明：1．三角代換是最常見的變數代換，當條件為或或時，均可用三角代換．2．用換元法一定要注意新元的範圍，否則所證不等式的變數和取值的變化會影響其結果的正確性．
典型例題十
例10 設是正整數，求證．
分析：要求乙個項分式的範圍，它的和又求不出來，可以採用「化整為零」的方法，觀察每一項的範圍，再求整體的範圍．
證明：由，得．
當時，；
當時，……當時，．
∴．說明：1、用放縮法證明不等式，放縮要適應，否則會走入困境．例如證明．由，如果從第3項開始放縮，正好可證明；如果從第2項放縮，可得小於2．當放縮方式不同，結果也在變化．
2、放縮法一般包括：用縮小分母，擴大分子，分式值增大；縮小分子，擴大分母，分式值縮小；全量不少於部分；每一次縮小其和變小，但需大於所求，第一次擴大其和變大，但需小於所求，即不能放縮不夠或放縮過頭，同時放縮後便於求和．
典型例題十一
例11 已知，求證：．
分析：欲證不等式看起來較為「複雜」，宜將它化為較「簡單」的形式，因而用分析法證明較好．
證明：欲證，
只須證．
即要證，
即要證．
即要證，
即要證．
即要證，即．
即要證 （*）
∵，∴（*）顯然成立，
故說明：分析法證明不等式，實質上是尋求結論成立的乙個充分條件．分析法通常採用「欲證——只要證——即證——已知」的格式．
典型例題十二
例12 如果，， ，求證：．
分析：注意到不等式左邊各字母在項中的分布處於分離狀態，而右邊卻結合在一起，因而要尋求乙個熟知的不等式具有這種轉換功能（保持兩邊項數相同），由，易得，此式的外形特徵符合要求，因此，我們用如下的結合法證明．
證明：∵
∴．說明：分析時也可以認為是連續應用基本不等式而得到的．左右兩邊都是三項，實質上是公式的連續使用．
如果原題限定，， ，則不等式可作如下變形：進一步可得到：．
顯然其證明過程仍然可套用原題的思路，但比原題要難，因為發現思路還要有乙個轉化的過程．
典型例題十三
例13 已知，，，求證：在三數中，不可能都大於．
分析：此命題的形式為否定式，宜採用反證法證明．假設命題不成立，則三數都大於，從這個結論出發，進一步去匯出矛盾．
證明：假設三數都大於，
即，， ．
又∵，，，
∴，，．
∴ ①
又∵，，．
以上三式相加，即得：
②顯然①與②相矛盾，假設不成立，故命題獲證．
說明：一般情況下，如果命題中有「至多」、「至少」、「都」等字樣，通常情況下要用反證法，反證法的關鍵在於「歸謬」，同時，在反證法的證明過程中，也貫穿了分析法和綜合法的解題思想．
典型例題十四
例14 已知、、都是正數，求證：．
分析：用分析法去找一找證題的突破口．要證原不等式，只需證，即只需證．把變為，問題就解決了．或有分析法的途徑，也很容易用綜合法的形式寫出證明過程．
證法一：要證，
只需證，
即，移項，得．
由、、為正數，得．
∴原不等式成立．
證法二：∵、、為正數，
．即，故．，．
說明：題中給出的，，，，只因為、、都是正數，形式同算術平均數與幾何平均數定理一樣，不加分析就用算術平均數與幾何平均數定理來求證，問題就不好解決了．
原不等式中是用「不大於」鏈結，應該知道取等號的條件，本題當且僅當時取「＝」號．證明不等式不論採用何種方法，僅僅是乙個手段或形式問題，我們必須掌握證題的關鍵．本題的關鍵是證明．[**:學#科#網]
典型例題十五
例15 已知，，且．求證：．
分析：記，欲證，聯想到正、余弦函式的值域，本題採用三角換元，借助三角函式的變換手段將很方便，由條件，可換元，圍繞公式來進行．
證明：令，，且，
則∵，∴，即成立．
說明：換元的思想隨處可見，這裡用的是三角代換法，這種代換如能將其幾何意義挖掘出來，對代換實質的認識將會深刻得多，常用的換元法有：(1)若，可設；(2)若，可設，，；(3)若，可設，，且．
典型例題十六
例16 已知是不等於1的正數，是正整數，求證．
分析：從求證的不等式看，左邊是兩項式的積，且各項均為正，右邊有2的因子，因此可考慮使用均值不等式．
證明：∵是不等於1的正數，
∴，∴． ①
又． ②
將式①，②兩邊分別相乘得，∴．
說明：本題看起來很複雜，但根據題中特點，選擇綜合法求證非常順利．由特點擊方法是解題的關鍵，這裡因為，所以等號不成立，又因為①，②兩個不等式兩邊均為正，所以可利用不等式的同向乘性證得結果．這也是今後解題中要注意的問題．
典型例題十七
例17 已知，，， ，且，求證．
分析：從本題結構和特點看，使用比較法和綜合法都難以奏效．為找出使不等式成立的充分條件不妨先用分析法一試，待思路清晰後，再決定證題方法．[**:z+xx+
證明：要證，
只需證，
只需證．
∵，， ，
∴，，，
∴，∴成立．
∴．說明：此題若一味地用分析法去做，難以得到結果．在題中得到只需證後，思路已較清晰，這時改用綜合法，是一種好的做法．通過此例可以看出，用分析法尋求不等式的證明途徑時，有時還要與比較法、綜合法等結合運用，決不可把某種方法看成是孤立的．
典型例題十八
例18 求證．
分析：此題的難度在於，所求證不等式的左端有多項和且難以合併，右邊只有一項．注意到這是乙個嚴格不等式，為了左邊的合併需要考查左邊的式子是否有規律，這只需從下手考查即可．
高考數學百大經典例題 不等式證明
典型例題一 例1 若，證明 且 分析1 用作差法來證明 需分為和兩種情況，去掉絕對值符號，然後比較法證明 解法1 1 當時，因為，所以 2 當時，因為 所以 綜合 1 2 知 分析2 直接作差，然後用對數的性質來去絕對值符號 解法2 作差比較法 因為，所以 說明 解法一用分類相當於增設了已知條件，便...
數學百大經典例題 不等式證明
典型例題一 例1 若，證明 且 分析1 用作差法來證明 需分為和兩種情況，去掉絕對值符號，然後比較法證明 解法1 1 當時，因為 所以 2 當時，因為 所以 綜合 1 2 知 分析2 直接作差，然後用對數的性質來去絕對值符號 解法2 作差比較法 因為，所以 說明 解法一用分類相當於增設了已知條件，便...
高考數學百大經典例題 不等式性質
典型例題一 例1 比較與的大小，其中 解 說明 由例1可以看出實數比較大小的依據是 典型例題二 例2 比較與的大小，其中 解 當時，當時，說明 兩個實數比較大小，通常用作差法來進行，其一般步驟是 第一步 作差 第二步 變形，常採用配方，因式分解等恒等變形手段 第三步 定號，貴州省是能確定是大於0，還...