典型例題一
例1 比較與的大小，其中．
解： ，，，
，∴．說明：由例1可以看出實數比較大小的依據是：①；
②；③．
典型例題二
例2 比較與的大小，其中
解： ，，，
，，∴ 當時，；
當時，說明：兩個實數比較大小，通常用作差法來進行，其一般步驟是：第一步：
作差；第二步：變形，常採用配方，因式分解等恒等變形手段；第三步：定號，貴州省是能確定是大於0，還是等於0，還是小於0．最後得結論．概括為「三步，—結論」，這裡的「變形」一步最為關鍵．
典型例題三
例3，比較與（）的大小．
分析：直接作差需要將與（）展開，過程複雜，式子冗長，可否考慮根據兩個式子特點，予以變形，再作差．
解：∵ =（），，
∴．則有時， （）恆成立．
說明：有的確問題直接作差不容易判斷其符號，這時可根據兩式的特點考慮先變形，到比較易於判斷符號時，再作差，予以比較，如此例就是先變形後，再作差．
典型例題四
例4 設，比較與的大小．
解：作差，
1）當時，即，
∴；2）當，即時，，
∴；3）當但，即或時，，
∴．說明：如本題作差，變形，變形到最簡形式時，由於式中含有字母，不能定號，必須對字母根據式子具體特點分類討論才能定號．此時要注意分類合理恰當．
典型例題五
例5 比較與的大小
分析：兩個數是冪的形式，比較大小一般採用作商法。
解： 說明：求商法比大小的變形要圍繞與1比大小進行．
典型例題六
例6 設，且，比較：與的大小。
分析：比較大小一般方法是求差法或求商法，利用不等式的性質進行變形，然後確定大小。
解： 當時，，
當時，即，又，
說明：求商法的基本步驟是：①求商，②變形，③與1比大小從而確定兩個數的大小.
典型例題七
例7 實數滿足條件：①；②；③，則有( )
ab．cd．（天津市2023年南開中學期末試題）
分析：先由條件②③分析出與的關係，根據條件利用①用數軸數形結合比出大小．
解：∵，∴與同側
∵，∴與異側
∵∴把標在數軸上，只有下面一種情況
由此得出，∴此題選d．
說明：比較大小時可以借助於數軸，利用推出的一些結論在數軸上標出它們的相對位置，這樣容易看出幾個數之間的大小關係，尤其是比較的個數較多時適用．
典型例題八
例8 已知①；②，求：的取值範圍．
分析：此題是給代數式的字母的範圍，求另外代數式的範圍．分為兩步來進行：(1)利用待定係數法將代數式用和表示．(2)利用不等式性質及題目條件確定的範圍．
解：設：
由①+②×2得：
：．說明：此題的一種典型錯誤做法，如下：
，即：： 此解法的錯誤原因是因為與是兩個相互聯絡，相互制約的量，而不是各自獨立的，當取到最大值或最小值時，不一定能取到最值，所以用以上方法可能擴大變數的範圍．
避免出錯的方法是通過待定係數法「整體代入」，見解題過程．
典型例題九
例9 判斷下列各命題的真假，並說明理由．
（1）若，則
（2）若，則
（3）若，則
（4）若，則
（5）若，則
（6）若，則
分析：利用不等式的性質來判斷命題的真假．
解：（1），是真命題．
（2）可用賦值法：，有，是假命題．
也可這樣說明：，
∵ ，只能確定，
但的符號無法確定，從而的符號確定不了，所以無法得到，實際上有：
（3）與（2）類似，由，從而是假命題．
（4）取特殊值：
有，∴ 是假命題．
定理3的推論是同向不等式可相加，但同向不等式相減不一定成立．只有異向不等式可相減，即
（5）， ∴是真命題．
（6）定理4成立的條件為必須是正數．
舉反例：
，則有說明：在利用不等式的性質解題時，一定要注意性質定理成立的條件．要說明乙個命題是假命題可通過舉反例．
典型例題十
例10 求證：
分析：把已知的大小關係轉化為差數的正負，再利用不等式的性質完成推理．
證明：利用不等式的性質，得
典型例題十一
例11 若，則下面不等式中成立的乙個是（ ）
（a） （b）
（cd）
解：由不等式的性質知：（a）、（b）、（c）成立的條件都不充分，所以選（d），其實（d） 正是異向不等式相減的結果．
說明：本的解法都是不等式性質的基本應用，對於不等式的基本性質要逐條掌握準確，以便靈活應用．
典型例題十二
例12 若，則下面各式中恆成立的是（ ）．
（a） （b）
（c） （d）
分析本題考查是否能正確使用不等式的性質來進行變形，應看到，已知條件中含有兩個內容，即，和，根據不等式的性質，可得，，繼而得到且，故，因此選a．
典型例題十三
例13 若，則一定成立的不等式是（ ）
a． b． c． d．
分析：a錯，當時有；同樣b錯；d沒有考慮各數取零和正負號的關係，所以也不對．
故選c，因為不等式兩邊同時加上乙個任意數（此題是），原不等式成立．
說明：這類題可以採用特例法：令即得c成立．
典型例題十四
例14 已知：，求證：．
分析：要證明的式子中，左右均為二項差，其中都有一項是兩字母積的形式，因此在證明時，對兩項積要注意性質的使用，對兩項差的證明要注意使用同向加性或異向減性來處理．
證明：又∴由同向加性可得：．
說明：此題還可採用異向減性來處理：做這類題過程並不複雜，關鍵是記準性質，並能正確地應用．
典型例題十五
例15已知集合求：．
分析：要求，需要先求集合和，從已知來看，的範圍容易求，的元素由可以推算，但在推算過程中，要注意運用不等式的性質．
解： 說明：本題中的條件，意在明確集合中的元素為，若去掉此條件，會出現不確定的情況．比如，的實數和的整數顯然是有區別的．另外，這裡集合的元素是通過集合的元素求出的，解題時，一定要看清．
典型例題十六
例16 設和都是非零實數，求不等式和同時成立的充要條件．
分析：本題是求兩個不等式同時成立的充要條件，因此，這兩個不等式不能分開來討論．如果分開討論，則成立的條件就是本身；而成立的條件則是與同號，且，但這個條件只是的乙個充分條件，並且與第乙個不等式是矛盾的．所以必須研究這兩個不等式同時成立的條件．顯然，應該從求它們同時成立的必要條件入手．
解：先求，同時成立的必要條件，即當，同時成立時，與應具備什麼條件．
由，得由可知，再由知，即與異號，因此是不等式與同時成立的必要條件．
再求，同時成立的充分條件．
事實上，當時，必有，且，因而成立．從而是不等式，同時成立的充分條件．
因此，兩個不等式，同時成立的充要條件是．
說明：本題結果表明，與同時成立，其充要條件是為正數，為負數．這與成立的條件，不要混淆．解本題是從必要條件入手的，即若，同時成立，則要研究從不等式和看與的大小有什麼關係，從中得出結論（），再把這個結論作為乙個充分條件去驗證及能否同時成立．從而解決了本題．
典型例題十七
例17 已知函式滿足：則應滿足（ ）
（a） （b）
（c） （d）
分析：如果能用與將「線性」表示出：，就可利用不等式的基本性質，由、的取值範圍，推出滿足的條件．
解：∵ ∴故
由不等式的基本性質，得
故選（c）.
說明：（1）也可設，由代定係數法求得，．
（2）下面的錯誤是值得引以為戒的∵ 又
∴ 故選（a）
上述推理錯誤產生的原因是由於將條件
化為使、的取值範圍擴大所致．事實上，作為點集
與之間的關係是，如圖點集n是圖中亂世形oabd所圍成的區域，點集m是由平行四邊形mnbp所圍成的區域，這樣就直觀地表現了，揭示了上述解法的錯誤．
高考數學百大經典例題 不等式性質
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