典型例題一
例1 如果命題「座標滿足方程的點都在曲線上」不正確，那麼以下正確的命題是
（a）曲線上的點的座標都滿足方程．
（b）座標滿足方程的點有些在上，有些不在上．
（c）座標滿足方程的點都不在曲線上．
（d）一定有不在曲線上的點，其座標滿足方程．
分析：原命題是錯誤的，即座標滿足方程的點不一定都在曲線上，易知答案為d．
典型例題二
例2 說明過點且平行於軸的直線和方程所代表的曲線之間的關係．
分析：「曲線和方程」的定義中所列的兩個條件正好組成兩個集合相等的充要條件，二者缺一不可．其中「曲線上的點的座標都是方程的解」，即純粹性；「以方程的解為座標的點都是曲線上的點」，即完備性．這是我們判斷方程是不是指定曲線的方程，曲線是不是所給方程的曲線的準則．
解：如下圖所示，過點且平行於軸的直線的方程為，因而在直線上的點的座標都滿足，所以直線上的點都在方程表示的曲線上．但是以這個方程的解為座標的點不會都在直線上，因此方程不是直線的方程，直線只是方程所表示曲線的一部分．
說明：本題中曲線上的每一點都滿足方程，即滿足純粹性，但以方程的解為座標的點不都在曲線上，即不滿足完備性．
典型例題三
例3 說明到座標軸距離相等的點的軌跡與方程所表示的直線之間的關係．
分析：該題應該抓住「純粹性」和「完備性」來進行分析．
解：方程所表示的曲線上每乙個點都滿足到座標軸距離相等．但是「到座標軸距離相等的點的軌跡」上的點不都滿足方程，例如點到兩座標軸的距離均為3，但它不滿足方程．因此不能說方程就是所有到座標軸距離相等的點的軌跡方程，到座標軸距離相等的點的軌跡也不能說是方程所表示的軌跡．
說明：本題中「以方程的解為座標點都在曲線上」，即滿足完備性，而「軌跡上的點的座標不都滿足方程」，即不滿足純粹性．只有兩者全符合，方程才能叫曲線的方程，曲線才能叫方程的曲線．
典型例題四
例4 曲線與直線有兩個不同的交點，求的取值範圍．有乙個交點呢？無交點呢？
高考數學百大經典例題 球 新課標
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數學百大經典例題 空間直線 新課標
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數學百大經典例題 不等式證明
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