典型例題一
例1．已知地球的半徑為，球面上兩點都在北緯45圈上，它們的球面距離為，點在東經30上，求點的位置及兩點所在其緯線圈上所對應的劣弧的長度．
分析：求點的位置，如圖就是求的大小，只需求出弦的長度．對於應把它放在中求解，根據球面距離概念計算即可．
解：如圖，設球心為，北緯45圈的中心為，
由兩點的球面距離為，所以=，
為等邊三角形．於是．
由，．即=．
又點在東經30上，故的位置在東經120，北緯45或者西經60，北緯45．
兩點在其緯線圈上所對應的劣弧．
說明：此題主要目的在於明確經度和緯度概念，及利用球的截面的性質和圓的有關性質設計計算方案．
典型例題二
例2．用兩個平行平面去截半徑為的球面，兩個截面圓的半徑為，．兩截面間的距離為，求球的表面積．
分析：此類題目的求解是首先做出截面圖，再根據條件和截面性質做出與球的半徑有關的三角形等圖形，利用方程思想計算可得．
解：設垂直於截面的大圓面交兩截面圓於，上述大圓的垂直於的直徑交於，如圖2．
設，則，解得．
．說明：通過此類題目，明確球的有關計算問題需先將立體問題轉化為平面問題，進一步熟悉有關圓的基礎知識，熟練使用方程思想，合理設元，列式，求解．
典型例題三
例3．自半徑為的球面上一點，引球的三條兩兩垂直的弦，求的值．
分析：此題欲計算所求值，應首先把它們放在乙個封閉的圖形內進行計算，所以應引導學生構造熟悉的幾何體並與球有密切的關係，便於將球的條件與之相聯．
解：以為從乙個頂點出發的三條稜，將三稜錐補成乙個長方體，則另外四個頂點必在球面上，故長方體是球的內接長方體，則長方體的對角線長是球的直徑．
=．說明：此題突出構造法的使用，以及滲透利用分割補形的方法解決立體幾何中體積計算．
典型例題四
例4．試比較等體積的球與正方體的表面積的大小．
分析：首先抓好球與正方體的基本量半徑和稜長，找出等量關係，再轉化為其面積的大小關係．
解：設球的半徑為，正方體的稜長為，它們的體積均為，
則由，，由得．．．
，即．說明：突出相關的面積與體積公式的準確使用，注意比較大小時運算上的設計．
典型例題五
例5．如圖1所示，在稜長為1的正方體內有兩個球相外切且又分別與正方體內切．（1）求兩球半徑之和；（2）球的半徑為多少時，兩球體積之和最小．
分析：此題的關鍵在於作截面，乙個球在正方體內，學生一般知道作對角面，而兩個球的球心連線也應在正方體的體對角線上，故仍需作正方體的對角面 ，得如圖2的截面圖，在圖2中，觀察與和稜長間的關係即可．
解：如圖2，球心和在上，過，分別作的垂線交於．
則由得．，．
（1）設兩球體積之和為，
則 =
=當時，有最小值．當時，體積之和有最小值．
典型例題六
例6．設正四面體中，第乙個球是它的內切球，第二個球是它的外接球，求這兩個球的表面積之比及體積之比．
分析：此題求解的第乙個關鍵是搞清兩個球的半徑與正四面體的關係，第二個關鍵是兩個球的半徑之間的關係，依靠體積分割的方法來解決的．
解：如圖，正四面體的中心為，的中心為，則第乙個球半徑為正四面體的中心到各面的距離，第二個球的半徑為正四面體中心到頂點的距離．
設，正四面體的乙個面的面積為．
依題意得，又即．
所以．．
說明：正四面體與球的接切問題，可通過線面關係證出，內切球和外接球的兩個球心是重合的，為正四面體高的四等分點，即定有內切球的半徑(為正四面體的高)，且外接球的半徑．
典型例題七
例7．把四個半徑都是1的球中的三個放在桌面上，使它兩兩外切，然後在它們上面放上第四個球，使它與前三個都相切，求第四個球的最高點與桌面的距離．
分析：關鍵在於能根據要求構造出相應的幾何體，由於四個球半徑相等，故四個球一定組成正四面體的四個頂點且正四面體的稜長為兩球半徑之和2．
解：由題意，四球心組成稜長為2的正四面體的四個頂點，
則正四面體的高．
而第四個球的最高點到第四個球的球心距離為求的半徑1，且三個球心到桌面的距離都為1，故第四個球的最高點與桌面的距離為．
說明：此型別題目對培養學生空間想象能力，並根據題意構造熟悉幾何體都非常有幫助，且還可以適當增加一點實際背景，加強應用意識．
典型例題八
例8 過球面上兩點作球的大圓，可能的個數是（ ）．
a．有且只有乙個 b．乙個或無窮多個
c．無數個 d．以上均不正確
分析：對球面上兩點及球心這三點的位置關係進行討論．當三點不共線時，可以作乙個大圓；當三點共線時，可作無數個大圓，故選b．
答案：b
說明：解此易選出錯誤判斷a．其原因是忽視球心的位置．
典型例題九
例9 球面上有3個點，其中任意兩點的球面距離都等於大圓周長的，經過3個點的小圓的周長為，那麼這個球的半徑為（ ）．
a． b． c． d．
分析：利用球的概念性質和球面距離的知識求解．設球的半徑為，小圓的半徑為，則，∴．如圖所示，設三點、、，為球心，．又∵，∴是等邊三角形，同樣，、都是等邊三角形，得為等邊三角形，邊長等於球半徑．為的外接圓半徑，，．
答案：b
說明：本題是近年來球這部分所出的最為綜合全面的一道題，除了考查常規的與多面體綜合外，還考查了球面距離，幾乎涵蓋了球這部分所有的主要知識點，是一道不可多得的好題．
典型例題十
例10 半徑為的球內接乙個各稜長都相等的四稜錐．求該四稜錐的體積．
分析：四稜錐的體積由它的底面積和高確定，只需找到底面、高與球半徑的關係即可，解決這個問題的關鍵是如何選取截面，如圖所示．
解：∵稜錐底面各邊相等，
∴底面是菱形．
∵稜錐側稜都相等，
∴側稜在底面上射影都相等，即底面有外接圓．
∴底面是正方形，且頂點在底面上的射影是底面中心，此稜錐是正稜錐．
過該稜錐對角面作截面，設稜長為，則底面對角線，
故截面是等腰直角三角形．
又因為是球的大圓的內接三角形，所以，即．
∴高，體積．
說明：在作四稜錐的截面時，容易誤認為截面是正三角形，如果作平等於底面一邊的對稱截面（過稜錐頂點，底面中心，且與底面一邊平行），可得乙個腰長為斜高、底為底面邊長的等腰三角形，但這一等腰三角形並不是外接球大圓的內接三角形．可見，解決有關幾何體接切的問題，如何選取截面是個關鍵．
解決此類問題的方法通常是先確定多面體的稜長（或高或某個截面內的元素）與球半徑的關係，再進一步求解．
典型例題十一
例11 在球面上有四個點、、、，如果、、兩兩互相垂直，且．求這個球的表面積．
分析：，因而求球的表面關鍵在於求出球的半徑．
解：設過、、三點的球的截面半徑為，
球心到該圓面的距離為，
則．由題意知、、、四點不共面，因而是以這四個點為頂點的三稜錐（如圖所示）．的外接圓是球的截面圓．
由、、互相垂直知，在面上的射影是的垂心，又，
所以也是的外心，所以為等邊三角形，
且邊長為，是其中心，
從而也是截面圓的圓心．
據球的截面的性質，有垂直於⊙所在平面，
因此、、共線，三稜錐是高為的球內接正三稜錐，從而．由已知得，，所以，可求得，∴．
說明：涉及到球與圓柱、圓錐、圓台切接問題，一般作其軸截面；涉及到球與稜柱、稜錐、稜臺的切接問題，一般過球心及多面體中特殊點或線作截面，把空間問題化為平面問題，進而利用平面幾何的知識尋找幾何體元素間的關係．
典型例題十二
例12 已知稜長為3的正四面體，、是稜、上的點，且，．求四面體的內切球半徑和外接球半徑．
分析：可用何種法求內切球半徑，把分成4個小體積(如圖)．
解：設四面體內切球半徑為，球心，外接球半徑，球心，鏈結、、、，則．
四面體各面的面積為
，，．各邊邊長分別為，，
∴．∵，，∴，
∴．如圖，
是直角三角形，其個心是斜邊的中點．
設中心為，鏈結，過作平面的垂線，必在此垂線上，
鏈結、．
∵，，∴，．
在直角梯形中，，，
，，又∵，∴，
解得：．
綜上，四面體的內切球半徑為，外接球半徑為．
說明：求四面體外接半徑的關鍵是確定其球心．對此多數同學束手無策，而這主要是因本題圖形的背景較複雜．若把該四面體單獨移出，則不參發現其球心在過各面三角形外心且與該三角形所在平面垂直的直線上，另還須注意其球心不一定在四面體內部．
本題在求四面體內切球半徑時，將該四面體分割為以球心為頂點，各面為底面的四個三稜錐，通過其體積關係求得半徑．這樣分割的思想方法應給予重視．
典型例題十三
例13 乙個倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內注入水，並放入乙個半徑為的鐵球，這時水面恰好和球面相切．問將球從圓錐內取出後，圓錐內水平面的高是多少？
分析：先作出軸截面，弄清楚圓錐和球相切時的位置特徵，利用鐵球取出後，錐內下降部分(圓台)的體積等於球的體積，列式求解．
解：如圖，作軸截面，設球未取出時，水面高，球取出後，水面高．
∵，，則以為底面直徑的圓錐容積為，．
球取出後，水面下降到，水的體積為
．又，則，
解得．答：球取出後，圓錐內水平面高為．
說明：抓住水的何種不變這個關鍵，本題迅速獲解．
典型例題十四
例14 球面上有三點、、組成這個球的乙個截面的內接三角形三個頂點，其中，、，球心到這個截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積．
分析：求球的表面積的關鍵是求球的半徑，本題的條件涉及球的截面，是截面的內接三角形，由此可利用三角形求截面圓的半徑，球心到截面的距離為球半徑的一半，從而可由關係式求出球半徑．
解：∵，，，
∴，是以為斜邊的直角三角形．
∴的外接圓的半徑為，即截面圓的半徑，
又球心到截面的距離為，
∴，得．
∴球的表面積為．
說明：涉及到球的截面的問題，總是使用關係式解題，我們可以通過兩個量求第三個量，也可能是抓三個量之間的其它關係，求三個量．例如，過球表面上一點引三條長度相等的弦、、，且兩兩夾角都為，若球半徑為，求弦的長度．由條件可抓住是正四面體，、、、為球上四點，則球心在正四面體中心，設，則截面與球心的距離，過點、、的截面圓半徑，所以得．
典型例題十五
例15 、是半徑為的球的球面上兩點，它們的球面距離為，求過、的平面中，與球心的最大距離是多少？
分析：、是球面上兩點，球面距離為，轉化為球心角，從而，由關係式，越小，越大，是過、的球的截面圓的半徑，所以為圓的直徑，最小．
解：∵球面上、兩點的球面的距離為．
∴，∴．
當成為圓的直徑時，取最小值，此時，取最大值，
，即球心與過、的截面圓距離最大值為．
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