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考點52 幾何證明選講
一、填空題
1.(2013·天津高考理科·t13)如圖,△abc為圓的內接三角形,bd為圓的弦,且bd∥ac.過點a作圓的切線與db的延長線交於點e,ad與bc交於點f.
若ab=ac,ae=6,bd=5,則線段cf的長為 .
【解題指南】利用圓以及平行線的性質計算.
【解析】因為ae與圓相切於點a,所以ae2=eb·(eb+bd),即62=eb·(eb+5),所以be=4,根據切線的性質有∠bae=∠acb,又因為ab=ac,所以∠abc=∠acb,所以∠abc=∠bae,所以ae∥bc,因為bd∥ac,所以四邊形acbe為平行四邊形,所以ac=be=4,bc=ae=6.設cf=x,由bd∥ac得,即,解得x=,即cf=.
【答案】.
2. （2013·湖南高考理科·ｔ11）如圖，在半徑為的⊙0中,弦
【解題指南】本題要利用相交弦定理:pa·pb=pd·pc和解弦心三角形
【解析】由相交弦定理得，所以弦長，故圓心o到弦cd的距離為.
【答案】.
3. （2013·陝西高考文科·ｔ15）如圖, ab與cd相交於點e, 過e作bc的平行線與ad的延長線相交於點p. 已知, pd = 2da = 2, 則pe
【解題指南】先通過及線線平行同位角相等，找出三角形相似,再由比例線段求得答案.
【解析】
【答案】.
4. (2013·北京高考理科·t11)如圖,
ab為圓o的直徑,pa為圓o的切線,pb與圓o相交於d.若pa=3,pd∶db=9∶16,則pd= ,ab= .
【解題指南】利用切割線定理求出pd,再在rt△pba中利用勾股定理求出ab.
【解析】由於pd∶db=9∶16,設pd=9a,db=16a,根據切割線定理有pa2=pd·pb,有a=,所以pd=,在rt△pba中,有ab=4.
【答案】 4.
5. （2013·湖北高考理科·ｔ15）如圖，圓o上一點c在直徑ab上的射影為d，點d在半徑oc上的射影為e，若ab=3ad,則的值為
【解題指南】先用半徑表示,再求比值.
【解析】設半徑為r，ab=3ad=2r.
ad=,od=,oc=r,cd=
所以eo=r―ce―r―
【答案】8.
6. （2013·陝西高考理科·ｔ15）如圖, 弦ab與cd相交於圓o內一點e, 過e作bc的平行線與ad的延長線相交於點p. 已知pd＝2da＝2, 則pe＝ .
【解題指南】先通過圓周角相等及線段平行同位角相等得出再由比例線段求得答案.
【解析】
【答案】
7.（2013·廣東高考理科·ｔ15）如圖，ab是圓o的直徑，點c在圓o上，延長bc到d使bc=cd，過c作圓o的切線交ad於e.若ab=6，ed=2，則bc=______.
【解題指南】本題考查幾何證明選講，可先作的中位線再計算.
【解析】設，連線，因為，是等腰三角形，，在中，，則，即，解得.
【答案】.
8.（2013·廣東高考文科·ｔ15）如圖，在矩形中， ，，垂足為，則 ．
【解題指南】本題考查幾何證明選講，可先利用射影定理再結合餘弦定理計算.
【解析】，是直角三角形，由射影定理，在中，由餘弦定理可得，即.
【答案】.
9. （2013·天津高考文科·ｔ13）如圖, 在圓內接梯形abcd中, ab//dc, 過點a作圓的切線與cb的延長線交於點e. 若ab = ad = 5, be = 4, 則弦bd的長為 .
【解題指南】 首先利用圓的性質，得出角的關係，再分別在△abe與△abd中利用正弦定理求解.
【解析】設，因為ae與圓相切於點a，所以又因為ab = ad ，所以，因為ab//dc,所以,所以.在△abe中，由正弦定理得，即，解得在△abd中，由正弦定理得，即，解得
【答案】.
10. （2013·重慶高考理科·ｔ14）如圖，在△中，，，，過作△的外接圓的切線，⊥，與外接圓交於點，則的長為
【解題指南】 直接根據圓的切線及直角三角形的相關性質進行求解
【解析】由題意知是圓的直徑,設圓心為,連線,因為是圓的切線,則又因為⊥,所以.因為,所以,因為,所以,因為,所以所以,又因為是圓的直徑, 點在圓上,且,所以,故
【答案】.
二、解答題
11. （2013·遼寧高考文科·ｔ22）與（2013·遼寧高考理科·ｔ22）相同
如圖，為的直徑，直線與相切於,垂直於，垂直於，垂直於，連線.
證明： ;
【解題指南】 借助等量代換，證明相等關係；利用全等三角形的對應邊，角相等.
【證明】由直線與相切於,得
由為的直徑，得，從而
又垂直於，得，從而
由垂直於，得
又垂直於，，為公共邊，
所以≌，所以
同理可證，≌，所以
又在中, ,所以
綜上，12. （2013·新課標ⅰ高考文科·ｔ22）與（2013·新課標ⅰ高考理科·ｔ22）相同
如圖，直線ab為圓的切線，切點為b，點c在圓上，∠abc的角平分線be交圓於點e，db垂直be交圓於d。
（ⅰ）證明：db=dc；
（ⅱ）設圓的半徑為1，bc= ，延長ce交ab於點f，求△bcf外接圓的半徑。
【解析】（ⅰ）鏈結交於點.
由弦切角定理得，而∠abe=∠cbe，故，.
又因為，所以為直徑，，
由勾股定理得.
（ⅱ）由（ⅰ）知，，，
故是的中垂線，所以.
設的中點為，鏈結，則，
從而，所以，
故的外接圓的半徑等於.
13.(2013·江蘇高考數學科·t21)如圖,ab和bc分別與圓o相切於點d,c,ac經過圓心o,且bc=2oc.求證:ac=2ad.
【解題指南】利用相似三角形證明,主要考查圓的切線性質、相似三角形判定與性質,考查推理論證能力.
【證明】鏈結od.因為ab和bc分別與圓o相切於點d,c,
所以∠ado=∠acb=90°.
又因為∠a=∠a,
所以rt△ado∽rt△acb.
所以,又bc=2oc=2od,
故ac=2ad.
14. （2013·新課標全國ⅱ高考文科·ｔ22）與（2013·新課標全國ⅱ高考理科·ｔ22）相同
如圖，cd為△abc外接圓的切線，ab的延長線交直線cd於點d，e、f分別為弦ab與弦ac上的點，且bcae=dcaf，b、e、f、c四點共圓.
（1） 證明：ca是△abc外接圓的直徑；
（2） 若db=be=ea,求過b、e、f、c四點的圓的面積與△abc外接圓面積的比值.
【解題指南】(1)根據圓的性質及相似知識證得，可得ca是外接圓的直徑.
（2）連線ce，利用圓的性質，尋求過b、e、f、c四點的圓的半徑長與△abc外接圓的半徑長的比值，從而確立圓的面積之比.
【解析】（1）因為cd為處接圓的切線，所以，由題設知
故∽，所以
因為b，e，f，c四點共圓，所以，故
所以，因此ca是外接圓的直徑.
(2)鏈結ce，
因為，所以過b，e，f，c四點的圓的直徑為ce，由db＝be，有ce＝dc，又，所以
而，故過b，e，f，c四點的圓的面積與外接圓面積的比值為
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