考點40 橢圓
一、選擇題
1.（2012·浙江高考文科·ｔ8）如圖，中心均為原點o的雙曲線與橢圓有公共焦點，m，n是雙曲線的兩頂點.若m，o，n將橢圓長軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是（ ）
(a)3b)2cd)
【解題指南】分別設出橢圓與雙曲線的方程,根據其焦點相同和m，o，n將橢圓長軸四等分得出離心率之間的關係.
【解析】選ｂ.設雙曲線的方程為橢圓的方程為由於m，o，n將橢圓長軸四等分，所以， 又，所以.
2.（2012·江西高考文科·ｔ8）橢圓的左、右頂點分別是a，b，左、右焦點分別是f1，f2.若|af1|,|f1f2|,|f1b|成等比數列，則此橢圓的離心率為（ ）
(abcd)
【解題指南】由|af1|,|f1f2|,|f1b|成等比數列建立a，c的方程，轉化為離心率，解方程得e.
【解析】選b. 因為a，b為左、右頂點，為左、右焦點，所以，，成等比數列，所以即，所以離心率.
3.（2012·新課標全國高考文科·ｔ4）與（2012·新課標全國高考理科·ｔ4）相同
設f1,f2是橢圓e： 的左、右焦點，p為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則e的離心率為（ ）
(abcd)
【解題指南】根據題意畫出圖形，尋求a，c所滿足的數量關係，求得離心率.
【解析】選c.設直線與軸交於點，則，在中，，，故，解得，故離心率.
二、填空題
4.（2012·江西高考理科·ｔ13）橢圓的左、右頂點分別是a，b，左、右焦點分別是，若成等比數列，則此橢圓的離心率為_______.
【解題指南】由|af1|,|f1f2|,|f1b|成等比數列建立a，c的方程，轉化為關於離心率的方程，解方程得e.
【解析】 a，b為左右頂點，為左右焦點，所以，，，又因為成等比數列，所以，即，所以離心率
【答案】
三、解答題
5.（2012·廣東高考理科·ｔ20）
在平面直角座標系xoy中，已知橢圓c：的離心率，且橢圓c上的點到點q（0，2）的距離的最大值為3.
（1）求橢圓c的方程.
（2）在橢圓c上，是否存在點m（m,n）使得直線：mx+ny=1與圓o：x2+y2=1相交於不同的兩點a，b，且△oab的面積最大？
若存在，求出點m的座標及對應△oab的面積；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）由題意得
∴a2=3b2，∴x2+3y2=為橢圓上一點，
若b≥1,y∈[-b,b],
∴當y=-1時，∴b2=1,b=1.
若0又a2=b2+c2,a2=3b2,∴
橢圓c的方程為.
(2)假設存在，設原點到直線的距離為d,
則 ，，
,在橢圓上，，，
當且僅當,即，
∴點此時.
顯然存在這樣的點m的座標為
使最大，最大值為.
6.（2012·廣東高考文科·ｔ20）在平面直角座標系中，已知橢圓:（）的左焦點為,且點在上.
（1） 求橢圓的方程.
（2） 設直線同時與橢圓和拋物線:相切，求直線的方程.
【解題指南】(1)根據題意可知，從而可解出a的值，問題得解.
（2）由題意得直線的斜率一定存在且不為0，設出直線方程，分別與橢圓方程和拋物線方程聯立，根據直線與橢圓和拋物線相切時滿足判別式等於0，可求得直線的方程.
【解析】（1）由題意得,
橢圓的方程為.
(2) 由題意得：直線的斜率一定存在且不為0，設直線的方程為
因為橢圓c1的方程為，
消去得∵直線與橢圓相切，.即①
直線與拋物線:相切，則消去得
，即②.
由①②解得
所以直線的方程為
7.（2012·陝西高考文科·ｔ20）與（2012·陝西高考理科·ｔ19）相同
已知橢圓:，橢圓以的長軸為短軸，且與有相同的離心率.
（1）求橢圓的方程.
（2）設為座標原點，點a，b分別在橢圓和上，，求直線的方程.
【解析】（1）由已知可設橢圓c2的方程為（），其離心率為，
故，則，故橢圓c2的方程為.
（2）（方法一）a，b兩點的座標分別記為，，由及（1）知，o，a，b三點共線且點a，b不在軸上，因此可設直線ab的方程為，
將代入橢圓方程中，得，所以，
將代入中，得，所以，
又由得，即，解得，
故直線ab的方程為或.
（方法二）a，b兩點的座標分別記為，，由及（1）知，o，a，b三點共線且點a，b不在軸上，因此可設直線ab的方程為，
將代入橢圓方程中，得，所以，
由得將代入橢圓c2的方程中，得，即，
解得，故直線ab的方程為或.
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