考點31 直接證明與間接證明
1.（2012·北京高考理科·ｔ20）設a是由m×n個實數組成的m行n列的數表，滿足：每個數的絕對值不大於1，且所有數的和為零，記s(m，n)為所有這樣的數表構成的集合.
對於a∈s(m,n),記ri(a)為a的第ⅰ行各數之和（1≤ⅰ≤m），cj(a)為a的第j列各數之和（1≤j≤n）；記k(a)為∣r1(a)∣,∣r2(a)∣,…,∣rm(a)∣,
∣c1(a)∣,∣c2(a)∣,…,∣**(a)∣中的最小值.
（1） 對如下數表a，求k（a）的值；
（2）設數表a∈s（2,3）形如
求k（a）的最大值；
（3）給定正整數t，對於所有的a∈s（2,2t+1），求k（a）的最大值.
【解題指南】（1）直接按照定義計算即可；（2）直接證明比較困難時，可以考慮用反證法；（3）首先構造乙個數表，求出最大值，再證明它就是所求的最大值.
【解析】（1）
,0.7.
（2）先用反證法證明k(a)≤1：
若k(a)>1,則，
同理可知b>0,∴a+b>0,
由題目所有數和為0，即a+b+c=-1,∴c=-1-a-b<-1,與題目條件矛盾，
∴k(a)≤1,
易知當a=b=0時，k(a)=1存在，∴k(a)的最大值為1.
（3）k(a)的最大值為,
首先構造滿足k(a)=的;,.
經計算知，a中每個元素的絕對值都小於1，所有元素之和為0，且，，
，下面證明是最大值.若不然，則存在乙個數表a，使得.
由k(a)的定義知a的每一列兩個數之和的絕對值都不小於x，而兩個絕對值不超過1的數的和，其絕對值不超過2，故a的每一列兩個數之和的絕對值都在區間[x,2]中.由於x>1，故a的每一列兩個數符號均與列和的符號相同，且絕對值不小於x-1.
設a中有g列的列和為正，有h列的列和為負，由對稱性不妨設g考慮a的第一行，由前面結論知a的第一行有不超過t個正數和不少於t+1個負數，每個正數的絕對值不超過1（即每個正數均不超過1），每個負數的絕對值不小於x-1（即每個負數均不超過1-x）.因此
，故a的第一行行和的絕對值小於x，與假設矛盾.
因此k(a)的最大值為.
2.（2012·北京高考文科·ｔ20）設a是如下形式的2行3列的數表，
滿足性質p：a，b，c，d，e，f∈[-1,1],且a+b+c+d+e+f=0.
記ri（a）為a的第i行各數之和（i=1,2），cj（a）為第j列各數之和（j=1，2，3）；記k（a）為|r1(a)|, |r2(a)|, |c1(a)|，|c2(a)|，|c3(a)|中的最小值.
（i） 對如下數表a，求k（a）的值；
（ii） 設數表a形如
其中-1≤d≤0.求k（a）的最大值；
（ⅲ）對所有滿足性質p的2行3列的數表a ，求k(a)的最大值.
【解題指南】（1）直接按照定義計算即可；（2）按照定義把k(a)轉化為關於d的函式，再求函式的最大值；（3）首先構造乙個數表，求出最大值，再證明它就是所求的最大值.
【解析】（i）
，0.7.
（ii）k(a)=min.
-1≤d≤0, k(a)=min=min
當時，k(a)取最大值.
（iii）k(a)的最大值為1.
首先構造k(a)=1的，，，
經計算知，a中每個元素的絕對值都小於等於1，所有元素之和為0，
， >1，.
下面證明1是最大值.若不然，則存在乙個2行3列的數表a，使得.
由k(a)的定義知a的每一列兩個數之和的絕對值都不小於x，而兩個絕對值不超過1的數的和，其絕對值不超過2，故a的每一列兩個數之和的絕對值都在區間[x,2]中.由於x>1，故a的每一列兩個數符號均與列和的符號相同，且絕對值不小於x-1.
設a中有1列的列和為正，有h列的列和為負，有對稱性不妨設h≥2.另外，由對稱性不妨設a的第一行的行和為正，第二行的行和為負.
考慮a的第一行，由前面結論知a的第一行有不超過1個正數和不少於2個負數，每個正數的絕對值不超過1（即每個正數均不超過1），每個負數的絕對值不小於x-1（即每個負數均不超過1-x）.因此
，故a的第一行的行和的絕對值小於x，與假設矛盾.
因此k(a)的最大值為1.
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