2023年高考試題數學(理科)選修系列:幾何證明選講
一、選擇題:
1.(2023年高考北京卷理科5)如圖,ad,ae,bc分別與圓o切於點d,e,f,
延長af與圓o交於另一點g。給出下列三個結論:
①ad+ae=ab+bc+ca;
②af·ag=ad·ae
③△afb ~△adg
其中正確結論的序號是
ab.②③
cd.①②③
【答案】a
【解析】由切線長定理得ad=ae,bd=bf,ce=cf,所以ab+bc+ca=ab+bd+ce=ad+ae,故①正確;
由切割線定理知, = af·ag,故②正確,所以選a.
二、填空題:
1. (2023年高考天津卷理科12)如圖,已知圓中兩條弦ab與cd相交於點f,e是ab延長線上一點,且df=cf=,af:fb:
be=4:2:1.
若ce與圓相切,則線段ce的長為
【答案】
【解析】設af=4x,bf==2x,be=x,則由相交弦定理得:,
即,即,由切割線定理得: ,所以.
2. (2023年高考湖南卷理科11)如圖2,a,e是半圓周上的兩個三等分點,直徑bc=4,ad⊥bc,垂足為d,be與ad相交於點f,則的af長為
答案:解析:如圖2中,連線ec,ab,ob,由a,e是半圓周上的兩個三等分點可知:∠ebc=30°,且⊿abo是正三角形,所以ec=2,be=,bd=1,且af=bf=.故填
評析:本小題主要考查平面幾何中直線與圓的位置關係問題,涉及與圓有關的定理的運用.
3. (2023年高考廣東卷理科15)(幾何證明選講選做題)如圖4,過圓外一點分別作圓的切線和割線交圓於。且,是圓上一點使得,,則 .
【答案】
【解析】由題得~
4.(2023年高考陝西卷理科15)(幾何證明選做題)如圖
【答案】
【解析】:
又所以,即
三、解答題:
1.(2023年高考遼寧卷理科22)(本小題滿分10分)選修4-1:幾何證明選講
如圖,a,b,c,d四點在同一圓上,ad的延長線與bc的延長線交於e點,且ec=ed.
(i)證明:cd//ab;
又cd//ab,∠edc=∠ecd,所以∠fab=∠gba.
所以∠afg+∠gba=180°.
故a,b,g,f四點共圓
2. (2023年高考全國新課標卷理科22)(本小題滿分10分) 選修4-1幾何證明選講
如圖,d,e分別是ab,ac邊上的點,且不與頂點重合,已知
為方程的兩根,
(1) 證明 c,b,d,e四點共圓;
(2) 若,求c,b,d,e四點所在圓的半徑
分析:(1)按照四點共圓的條件證明;(2)運用相似三角形與圓、四邊形、方程的性質及關係計算。
解析:(i)連線de,根據題意在△ade和△acb中
即.又∠dae=∠cab,從而△ade∽△acb 因此∠ade=∠acb
所以c,b,d,e四點共圓。
(ⅱ)m=4, n=6時,方程x2-14x+mn=0的兩根為x1=2,x2=12.故 ad=2,ab=12.
取ce的中點g,db的中點f,分別過g,f作ac,ab的垂線,兩垂線相交於h點,連線dh.因為c,b,d,e四點共圓,所以c,b,d,e四點所在圓的圓心為h,半徑為dh.
由於∠a=900,故gh∥ab, hf∥ac. hf=ag=5,df= (12-2)=5.
故c,b,d,e四點所在圓的半徑為5
點評:此題考查平面幾何中的圓與相似三角形及方程等概念和性質。注意把握判定與性質的作用。
3.(2023年高考江蘇卷21)選修4-1:幾何證明選講(本小題滿分10分)
如圖,圓與圓內切於點,其半徑分別為與,
圓的弦交圓於點(不在上),
求證:為定值。
解析:考察圓的切線的性質、三角形相似的判定及其性質,容易題。
證明:由弦切角定理可得
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