2023年高考試題數學（理科）推理與證明
一、選擇題:
1. (2023年高考江西卷理科7)觀察下列各式： =3125， =15625， =78125，…，則的末四位數字為
a．3125 b．5625 c．0625 d．8125
【答案】d
【解析】觀察發現冪指數是奇數的,結果後三位數字為125,故排除b、c選項;而,故a也不正確, 所以選d.
2．(2023年高考江西卷理科10)如右圖，乙個直徑為l的小圓沿著直徑為2的大圓內壁的逆時針方向滾動，m和n是小圓的一條固定直徑的兩個端點．那麼，當小圓這樣滾過大圓內壁的一周，點m，n在大圓內所繪出的圖形大致是
答案：a 解析：由題意可知，m和n是小圓的一條固定直徑的兩個端點，黨小圓沿著大圓內壁的逆時針方向滾動時，點m沿著直線向右移動，而點n先沿著直線向下移動，再沿著直線向上移動，故選a.
二、填空題:
3. (2023年高考山東卷理科15)設函式,觀察:
,所以歸納出分母為的分母為,故當且時， .
4.(2023年高考安徽卷理科15)在平面直角座標系中，如果與都是整數，就稱點為整點，下列命題中正確的是寫出所有正確命題的編號）.
①存在這樣的直線，既不與座標軸平行又不經過任何整點
②如果與都是無理數，則直線不經過任何整點
③直線經過無窮多個整點，當且僅當經過兩個不同的整點
④直線經過無窮多個整點的充分必要條件是：與都是有理數
⑤存在恰經過乙個整點的直線
【答案】①③⑤
【命題意圖】本題考查直線方程，考查邏輯推理能力.難度較大.
【解析】①正確，令滿足①；②錯誤，若，過整點（－1,0）；③正確，設是過原點的直線，若此直線過兩個整點，則有，，兩式相減得，則點也在直線上，通過這種方法可以得到直線經過無窮多個整點，通過上下平移得對於也成立；④錯誤，當與都是有理數時，令顯然不過任何整點；⑤正確. 如：直線恰過乙個整點
【解題指導】：這類不定項多選題型別，難度非常大，必須每乙個選項都有足夠的把握確定其正誤，解題時須耐心細緻。
5. (2023年高考湖北卷理科15)給n個自上而下相連的正方形著黑色或白色.當n≤4時，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示：
n=1n=2
n=3n=4
由此推斷，當n=6時，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有種，至少有兩個
黑色正方形相鄰的著色方案共有種.（結果用數值表示）
答案：21，43
解析：根據著色方案可知，n=6時，若有3個黑色正方形則有3種，有2個黑色正方形有4+3+2+1+1=11種，有1個黑色正方形有6種；有0個黑色正方形有1種，所以共有3+11+6+1=21種.
n=6時，當至少有2個黑色正方形相鄰時，畫出圖形可分為：
①有2個黑色正方形相鄰時，共23種，
②有3個黑色正方形相鄰時，共12種，
③有4個黑色正方形相鄰時，共5種，
④有5個黑色正方形相鄰時，共2種，
⑤有6個黑色正方形相鄰時，共1種.
故共有23+12+5+2+1=43種.
6．(2023年高考陝西卷理科13)觀察下列等式
1=12+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……照此規律，第個等式為
【答案】
【解析】：第個等式是首項為，公差1，項數為的等差數列，即
7、(2023年高考安徽卷江蘇3)設複數i滿足（i是虛數單位），則的實部是_________
【答案】1
【解析】因為，所以,故的實部是1.
8. (2023年高考湖南卷理科16)對於，將表示為，當時，
，當時，為或.記為上述表示中為的個數（例如：，
，故，），則（1） ；（2） .
答案： 2; 1093
答案：（1）2；（2）
解析：（1）因，故；
（2）在2進製的位數中，沒有0的有1個，有1個0的有個，有2個0的有個，……有個0的有個，……有個0的有個。故對所有2進製為位數的數，在所求式中的的和為：
。又恰為2進製的最大7位數，所以。
三、解答題:
9．(2023年高考上海卷理科19)（12分）已知複數滿足（為虛數單位），複數的虛部為，是實數，求。
解： ………………（4分）
設，則，………………（12分）
12分）
10.(2023年高考安徽卷理科19)（本小題滿分12分）
（ⅰ）設證明，
（ⅱ），證明.
【命題意圖】：本題考查不等式的基本性質，對數函式的性質和對數換底公式等基本知識，考查代數式恆定變形能力和推理論證能力。
【證明】：(ⅰ)由於，所以
要證明：
只要證明：
只要證明：
只要證明：
只要證明：
由於，上式顯然成立，所以原命題成立。
（ⅱ）設=， =，則
∴所要證明不等式即為，
∵，∴≥1，≥1，
由（ⅰ）知所證明的不等式成立.
11. (2023年高考天津卷理科20)（本小題滿分14分）
已知數列與滿足：，，且．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）設，證明：是等比數列；
（ⅲ）設證明：．
【解析】本小題主要考查等比數列的定義、數列求和等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析能力和解決問題的能力及分類討論的思想方法.
（ⅰ）解:由, ,可得, 又
當n=1時, ,由, ,得;
當n=2時, ,可得.
當n=3時, ,可得.
（ⅱ）證明:對任意,
,①,②
,③②-③得 ④,
將④代入①,可得即(),又,
故,因此,所以是等比數列.
（iii）證明：由（ii）可得，
於是，對任意，有
將以上各式相加，得
即，此式當k=1時也成立.由④式得
從而所以，對任意，
對於n=1，不等式顯然成立.
所以，對任意
12. (2023年高考湖南卷理科22)（本小題滿分13分）已知函式
求函式的零點個數，並說明理由；
設數列滿足證明：存在常數
使得對於任意的都有
解：由知，，而且，
，則為的乙個零點，且在內由零點，
因此至少有兩個零點.
解法1 記則
當時，因此在上單調遞增，則在上至多有乙個零點，
又因為，，則在內有零點.所以在上有且只有乙個零點，記此零點為，則當時，當時，
所以，當時，單調遞減，而則在內無零點；當時，單調遞增，則在內至多只有乙個零點，從而在上至多有乙個零點.
綜上所述，有且只有兩個零點.
解法2 由，記則
當時，因此在上單調遞增，則在上至多有乙個零點，
從而在上至多有乙個零點.
綜上所述，有且只有兩個零點.
記的正零點為，即
（1）當時，由得，而，因此.
由此猜測：.下面用數學歸納法證明.
①當時，顯然成立，
②假設當時，成立，則當時，由
知因此，當時，成立
故對任意的成立
（2）當時，由（1）知，在上單調遞增。則，即。從而，即，由此猜測：。下面用數學歸納法證明：
①當時，顯然成立；
②假設當時，有成立，則當時，由
知，，因此，當時，成立。
故對任意的，成立。
綜上所述，存在常數，使得對於任意的，都有.
13. (2023年高考廣東卷理科20)設數列滿足,
(1) 求數列的通項公式；
(2) 證明：對於一切正整數n,
【解析】（1）由
令，當①當時，
②當（2）當時，（欲證）
，當綜上所述
14．(2023年高考廣東卷理科21)（本小題滿分14分）
（2）設是定點，其中滿足.過作的兩條切線，切點分別為，與分別交於.線段上異於兩端點的點集記為.證明：；
【解析】解：（1）證明：切線的方程為
噹噹（2）的方程分別為
求得的座標，由於，故有
1）先證：
（）設當當（）設當注意到2）次證：
（）已知利用（1）有
（）設，斷言必有
若不然，令y是上線段上異於兩端點的點的集合，
由已證的等價式1）再由（1）得，矛盾。
故必有再由等價式1），
綜上，（3）求得的交點
而是ｌ的切點為的切線，且與軸交於，
由（１）線段q1q2，有
當在（0，2）上，令
由於在[0，2]上取得最大值
故,故15. (2023年高考湖北卷理科21)（本小題滿分14分）
(ⅰ)已知函式，求函式的最大值；
(ⅱ)設均為正數，證明：
（1）若，則；
（2）若，則
本題主要考查函式、導數、不等式的證明等基礎知識，同時考查綜合運用數學知識進行推理論證的能力，以及化歸與轉化的思想.
解析：（ⅰ）的定義域為，令，解得，
當時，，在（0，1）內是增函式；
當時，，在內是減函式；
故函式在處取得最大值
（ⅱ）（1）由（ⅰ）知，當時，有，即，
，從而有，得，
求和得,
, ,即
.（2）①先證.
令，則,於是
由（1）得，即
.②再證.
記，令，則，
於是由（1）得.
即， 綜合①②，（2）得證.
16.(2023年高考全國卷理科20)設數列滿足且
（ⅰ）求的通項公式；（ⅱ）設
【解析】：（ⅰ）由得，
前項為，
(ii)
.17.(2023年高考全國卷理科22)（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）
（ⅰ）設函式，證明：當時，；
（ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨即抽取一張，然後放回，用這種方式連續抽取20次，設抽得的20個號碼互不相同的概率為.證明：
【解析】：（ⅰ）
故（ⅱ）法一：第次抽取時概率為，則抽得的20個號碼互不相同的概率
由（ⅰ），當
即有故於是即。故
法二：所以是上凸函式，於是因此故
綜上：18．(2023年高考江蘇卷23)（本小題滿分10分）
設整數，是平面直角座標系中的點，其中
（1）記為滿足的點的個數，求；
（2）記為滿足是整數的點的個數，求
解析：考察計數原理、等差數列求和、分類討論、歸納推理能力，較難題。
（1）因為滿足的每一組解構成乙個點p,所以。
（2）設，則
對每乙個k對應的解數為：n-3k,構成以3為公差的等差數列；
當n-1被3整除時，解數一共有：
當n-1被3除餘1時，解數一共有：
當n-1被3除餘2時，解數一共有：
19．(2023年高考北京卷理科20)（本小題共13分）
若數列滿足，數列為數列，記=．
（ⅰ）寫出乙個滿足，且〉0的數列；
（ⅱ）若，n=2000，證明：e數列是遞增數列的充要條件是=2011；
（ⅲ）對任意給定的整數n（n≥2），是否存在首項為0的e數列，使得=0？如果存在，寫出乙個滿足條件的e數列；如果不存在，說明理由。
解：（ⅰ）0，1，2，1，0是一具滿足條件的e數列a5。
2023年高考數學試題分類彙編大全
一 集合與常用邏輯用語 一 選擇題 1 重慶理2 是 的 a 充分而不必要條件b 必要而不充分條件 c 充要條件d 既不充分也不必要 答案 a 2 天津理2 設則 且 是 的 a 充分而不必要條件b 必要而不充分條件 c 充分必要條件d 即不充分也不必要條件 答案 a 3 浙江理7 若為實數，則 是...
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1 湖北卷理 3 投擲兩顆骰子，得到其向上的點數分別為m和n,則複數 m ni n mi 為實數的概率為 ab cd 3 答案 c 2 江蘇卷 5.現有5根竹竿，它們的長度 單位 m 分別為2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若從中一次隨機抽取2根竹竿，則它們的長度恰好相差0.3m的概率為 解析...
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