數學m單元推理與證明
m1 合情推理與演繹推理
16．，[2014·福建卷] 已知集合＝，且下列三個關係：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有乙個正確，則100a＋10b＋c等於________．
16．201 [解析] (i)若①正確，則②③不正確，由③不正確得c＝0，由①正確得a＝1，所以b＝2，與②不正確矛盾，故①不正確．
(ii)若②正確，則①③不正確，由①不正確得a＝2，與②正確矛盾，故②不正確．
(iii)若③正確，則①②不正確，由①不正確得a＝2，由②不正確及③正確得b＝0，c＝1，故③正確．
則100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.
14．[2014·全國新課標卷ⅰ] 甲、乙、丙三位同學被問到是否去過a，b，c三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過b城市．乙說：我沒去過c城市．丙說：我們三人去過同一城市．
由此可判斷乙去過的城市為________．
14．a [解析] 由甲沒去過b城市，乙沒去過c城市，而三人去過同一城市，可知三人去過城市a，又由甲最多去過兩個城市，且去過的城市比乙多，故乙隻去過a城市．
14．[2014·陝西卷] 已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈n＋，則f2014(x)的表示式為________．
14. [解析] 由題意，得f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝＝，f3(x)＝，…，
由此歸納推理可得f2014(x)＝.
m2 直接證明與間接證明
21．、[2014·湖南卷] 已知函式f(x)＝xcos x－sin x＋1(x＞0)．
(1)求f(x)的單調區間；
(2)記xi為f(x)的從小到大的第i(i∈n*)個零點，證明：對一切n∈n*，有＋＋…＋＜.
21．解： (1)f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.
令f′(x)＝0，得x＝kπ(k∈n*)．
當x∈(2kπ，(2k＋1)π)(k∈n)時，sin x>0，此時f′(x)<0;
當x∈((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈n)時，sin x<0，此時f′(x)>0.
故f(x)的單調遞減區間為(2kπ，(2k＋1)π)(k∈n)，單調遞增區間為((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈n)．
(2)由(1)知，f(x)在區間(0，π)上單調遞減．又f＝0，故x1＝.
當n∈n*時，因為
f(nπ)f＝[(－1)nnπ＋1][(－1)n＋1(n＋1)π＋1]＜0，
且函式f(x)的影象是連續不斷的，所以f(x)在區間(nπ，(n＋1)π)內至少存在乙個零點．又f(x)在區間(nπ，(n＋1)π)上是單調的，故
nπ＜xn＋1＜(n＋1)π.
因此，當n＝1時，＝＜；
當n＝2時，＋＜(4＋1)＜；
當n≥3時，
＋＋…＋<
＜＜＝＜＜.
綜上所述，對一切n∈n*，＋＋…＋＜.
m3 數學歸納法
23．、[2014·江蘇卷] 已知函式f0(x)＝(x>0)，設fn(x)為fn－1(x)的導數，n∈n*.
(1)求2f1＋f2的值；
(2)證明：對任意的n∈n*，等式＝都成立．
23．解： (1)由已知，得f1(x)＝f′0(x)＝′＝－，
於是f2(x)＝f1′(x)＝′－′＝
－－＋，
所以f1＝－，f2＝－＋.
故2f1＋f2＝－1.
(2)證明：由已知得，xf0(x)＝sin x，等式兩邊分別對x求導，得f0(x)＋xf0′(x)＝cos x，
即f0(x)＋xf1(x)＝cos x＝sin.
類似可得
2f1(x)＋xf2(x)＝－sin x＝sin(x＋π)，
3f2(x)＋xf3(x)＝－cos x＝sin，
4f3(x)＋xf4(x)＝sin x＝sin(x＋2π)．
下面用數學歸納法證明等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin對所有的n∈n*都成立．
(i)當n＝1時，由上可知等式成立．
(ii)假設當n＝k時等式成立，即kfk－1(x)＋xfk(x)＝sin.
因為[kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kfk－1′(x)＋fk(x)＋xfk′(x)＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)，
′＝cos·′＝sin，
所以(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝sin，
因此當n＝k＋1時，等式也成立．
綜合(i)(ii)可知，等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin對所有的n∈n*都成立．
令x＝，可得nfn－1＋fn＝sin (n∈n*)，
所以＝ (n∈n*)．
m4 單元綜合
5．[2014·湖南長郡中學月考] 記sk＝1k＋2k＋3k＋…＋nk，當k＝1，2，3，…時，觀察下列等式：s1＝n2＋n，s2＝n3＋n2＋n，s3＝n4＋n3＋n2，s4＝n5＋n4＋n3－n，s5＝n6＋n5＋n4＋an2，…由此可以推測a
5．－ [解析] 根據所給等式可知，各等式右邊的各項係數之和為1，所以＋＋＋a＝1，解得a＝－.
6．[2014·日照一中月考] 二維空間中圓的一維測度(周長)l＝2πr，二維測度(面積)s＝πr2，觀察發現s′＝l；三維空間中球的二維測度(表面積)s＝4πr2，三維測度(體積)v＝πr3，觀察發現v′＝s.已知四維空間中「超球」的三維測度v＝8πr3，猜想其四維測度w
6．2πr4 [解析] 因為w′＝8πr3，所以w＝2πr4.
7．[2014·甘肅天水一中期末] 觀察下列等式：
(1＋1)＝2×1；
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5.
照此規律，第n個等式為
7．(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)
[解析] 觀察等式規律可知第n個等式為(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)．
8．[2014·南昌調研] 已知整數對的序列為(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…，則第57個數對是________．
8．(2，10) [解析] 由題意，發現所給序數列有如下規律：
(1，1)的和為2，共1個；
(1，2)，(2，1)的和為3，共2個；
(1，3)，(2，2)，(3，1)的和為4，共3個；
(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)的和為5，共4個；
(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)的和為6，共5個．
由此可知，當數對中兩個數字之和為n時，有n－1個數對．易知第57個數對中兩數之和為12，且是兩數之和為12的數對中的第2個數對，故為(2，10)．
9．[2014·福州模擬] 已知點a(x1，ax1)，b(x2，ax2)是函式y＝ax(a>1)的影象上任意不同的兩點，依據影象可知，線段ab總是位於a，b兩點之間函式影象的上方，因此有結論》a成立．運用模擬的思想方法可知，若點a(x1，sin x1)，b(x2，sin x2)是函式y＝sin x(x∈(0，π))的影象上任意不同的兩點，則類似地有成立．
9. 2010年高考題 1.10年重慶卷 答案 a解析連續不同內容的問題，各句都用問號。2.10年湖北卷 答案 b解析 竹林 後的頓號應該為逗號。3.10年山東卷 答案 b解析 a項 模型 應該在引號外 c項去掉冒號 d項 科技下鄉活動 後的頓號改為逗號。2009年高考題 1.09年湖北卷 答案 d 解析... 4 自我調節能力 或自淨能力 2分 28 14分 考查遺傳規律，基因型的判斷，概率計算，基因頻率的計算，變異型別的判斷。較簡單，個別空易出錯。評分細則 1 eebb 或bbee 1分 eebb 或bbee 1分 eebb 或bbee 2分 該空易出錯 2 1 2 1分 3 40 或0.4 1分 48... 2013 萬有引力 高考題彙編 1.2013福建 設太陽質量為m，某行星繞太陽公轉週期為t，軌道可視為r的圓。已知萬有引力常量為g，則描述該行星運動的上述物理量滿足 a b c d 2.2013安徽 質量為m的人造地球衛星與地心的距離為r時，引力勢能可表示為，其中g為引力常量，m為地球質量。該衛星原...2019屆6年高考題分類彙編 答案
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