三、立體幾何
（2007）（3）下列幾何體各自的三檢視中，有且僅有兩個檢視相同的是
（a） （b） （c） （d）
【答案】d【解析】從選項看只要判斷正方體的三檢視都相同就可以選出正確答案。
（2008）（6）右圖是乙個幾何體的三檢視，根據圖中資料，
可得該幾何體的表面積是
a． b． c． d．
【答案】d【解析】從三檢視可以看出該幾何體是由乙個球和
乙個圓柱組合而成的，其表面及為
2009）（4）一空間幾何體的三檢視如圖所示,則該幾何體的體積為
a. b. c. d.
【答案】c【解析】該空間幾何體為一圓柱和一四稜錐組成的,
圓柱的底面半徑為1,高為2,體積為,四稜錐的底面
邊長為，高為，所以體積為
所以該幾何體的體積為.
（2010）（3）在空間，下列命題正確的是
（a）平行直線的平行投影重合b）平行於同一直線的兩個平面平行
（c）垂直於同一平面的兩個平面平行 （d）垂直於同一平面的兩條直線平行
【答案】d【解析】對於涉及空間位置關係判定和性質定理的命題，可依據定理直接判斷；不涉及的，可通過空間想象進行判斷.解答過程如下：平行直線的平行投影有可能是兩個點，故a中命題不正確；平行於同一條直線的兩個平面有可能相交，故b中命題不正確；垂直於同一平面的兩個平面也有可能相交，故c中命題不正確；d中命題是線面垂直的性質定理，這個命題正確.
評注：對於不易判斷正誤的命題，可通過想象或作出圖形進行判斷.
（2007）（19）（本小題滿分12分）如圖,在直四稜柱中,已知, ,.
(i)設是的中點,求證:;
(ii)求二面角的余弦值.
解：:(i)鏈結，則四邊形為正方形，，
且，為平行四邊形，.
(ii) 以d為原點，所在直線分別為軸、軸、軸，
建立空間直角座標系，不妨設，則
設為平面的乙個法向量，
由得，取，則.
設為平面的乙個法向量，由得，取,則.
由於該二面角為銳角，
所以所求的二面角的余弦值為
（2008）（20）（本小題滿分12分）
如圖，已知四稜錐，底面為菱形，平面，，分別是的中點．
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）若為上的動點，與平面所成最大角的正切值
為，求二面角的余弦值．
（ⅰ）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形．
因為為的中點，所以．
又，因此．
因為平面，平面，所以．
而平面，平面且，
所以平面．又平面，
所以．（ⅱ）解：設，為上任意一點，連線．
由（ⅰ）知平面，則為與平面所成的角．
在中，，所以當最短時，最大，
即當時，最大．
此時，因此．又，所以，所以．
解法一：因為平面，平面，所以平面平面．
過作於，則平面；過作於，連線，則為二面角的平面角.
在中，，，
又是的中點，在中，，又，
在中，，
即所求二面角的余弦值為．
解法二：由（ⅰ）知兩兩垂直，以為座標原點，建立如圖所示的空間直角座標系，又分別為的中點，所以
，，所以．
設平面的一法向量為，
則因此取，則，
因為，，，所以平面，
故為平面的一法向量，又，
所以．因為二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為．
（2009）（18）（本小題滿分12分）
如圖，在直四稜柱abcd-abcd中，底面abcd為等腰梯形，ab//cd，ab=4, bc=cd=2, aa=2, e、e、f分別是稜ad、aa、ab的中點。
（1）證明：直線ee//平面fcc；
（2）求二面角b-fc-c的余弦值。
解法一：（1）在直四稜柱abcd-abcd中，取a1b1的中點f1，
連線a1d，c1f1，cf1，因為ab=4, cd=2,且ab//cd，
所以cda1f1，a1f1cd為平行四邊形，所以cf1//a1d，
又因為e、e分別是稜ad、aa的中點，所以ee1//a1d，
所以cf1//ee1，又因為平面fcc，平面fcc，
所以直線ee//平面fcc.
（2）因為ab=4, bc=cd=2, 、f是稜ab的中點,所以bf=bc=cf,△bcf為正三角形,取cf的中點o,則ob⊥cf,又因為直四稜柱abcd-abcd中,cc1⊥平面abcd,所以cc1⊥bo,所以ob⊥平面cc1f,過o在平面cc1f內作op⊥c1f,垂足為p,連線bp,則∠opb為二面角b-fc-c的乙個平面角, 在△bcf為正三角形中, ,在rt△cc1f中, △opf∽△cc1f,∵∴,
在rt△opf中, , ,所以二面角b-fc-c的余弦值為.
解法二:（1）因為ab=4, bc=cd=2, f是稜ab的中點,
所以bf=bc=cf,△bcf為正三角形, 因為abcd為
等腰梯形,所以∠bac=∠abc=60°,取af的中點m,
連線dm,則dm⊥ab,所以dm⊥cd,
以dm為x軸,dc為y軸,dd1為z軸建立空間直角座標系,
,則d（0,0,0）,a（,-1,0）,f（,1,0）,c（0,2,0）,
c1（0,2,2）,e（, ,0）,e1（,-1,1）,
所以, ,設平面cc1f的法向量為則所以取,則,所以,所以直線ee//平面fcc.
（2）,設平面bfc1的法向量為,則所以,取,則,
, ,所以,由圖可知二面角b-fc-c為銳角,所以二面角b-fc-c的余弦值為.
（2010）（19）如圖4，在五稜錐中，平面，.，三角形是等腰三角形.
（ⅰ）求證：平面平面；
（ⅱ）求直線與平面所成角的大小；
（ⅲ）求四稜錐的體積.
解：（ⅰ）要證明平面平面，根據面面垂直
的判定定理，只需在乙個平面內找到一條與另乙個平面垂
直的直線.經考察，平面中的直線可當此任.
（ⅱ）根據直線與平面所成的角的定義，可知直線與平面
所成角的正弦值應等於點到平面的距離與的比值，所以，
只要求出這兩個量，即可求出直線與平面所成的角.其中，
易求，對於點到平面的距離，可將其轉化為點到平面
的距離求解. （ⅲ）求出四稜錐的高和底面積，即可求其體積.解答過程如下：
（i）證明：因為平面，平面，所以.
因為，所以，所以，所以，又因為，所以.
因為，所以平面.
因為平面，所以平面平面.
（ⅱ）解：過點作，因為平面平面，所以平面，所以是點到平面的距離.
因為是等腰三角形，所以，，所以在中，，所以.
因為，平面，所以點到平面的距離等於.
設直線與平面所成的角為，則.
所以直線與平面所成的角為.
（ⅲ）因為，所以四邊形是直角梯形.
因為，，所以，所以，所以.
又因為四稜錐的高，所以四稜錐的體積為.
評注：上述解答在證明平面平面時，運用了餘弦定理，這種考查方式很新穎.本題也可以用空間向量求解，但不如用幾何法簡捷.
備考啟示：立體幾何中的考查熱點有：空間幾何體面積和體積問題、三檢視判斷和應用問題、空間位置關係的判斷和證明問題、空間角的求解問題等，三種題型均有可能出現，在複習備考時，要注重對基礎知識和基本方法的掌握.
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