【考點闡述】
曲線與方程的概念．由已知條件列出曲線方程．
【考試要求】
（4）了解圓錐曲線的初步應用．
（5）了解解析幾何的基本思想，了解座標法．
【考題分類】
（一）選擇題（共2題）
1.（北京卷理4）若點到直線的距離比它到點的距離小1，則點的軌跡為
a．圓b．橢圓c．雙曲線d．拋物線
【標準答案】: d
【試題分析】: 把到直線向左平移乙個單位，兩個距離就相等了，它就是拋物線的定義。
【高考考點】: 二次函式的定義。
【易錯提醒】: 沒有轉化的意識
【備考提示】: 基本概念、基本技巧、基本運算的訓練是基礎。
2.（山東卷理10）設橢圓c1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為26.若曲線c2上的點到橢圓c1的兩個焦點的距離的差的絕對值等於8，則曲線c2的標準方程為
（ab)
(cd)
解：對於橢圓，曲線為雙曲線， ，
標準方程為：
（二）解答題（共3題）
1.（海南寧夏卷理23文23）已知曲線c1：，曲線c2：。
（1）指出c1，c2各是什麼曲線，並說明c1與c2公共點的個數；
（2）若把c1，c2上各點的縱座標都壓縮為原來的一半，分別得到曲線，。寫出，的引數方程。與公共點的個數和c1與c2公共點的個數是否相同？說明你的理由。
解：（ⅰ）是圓，是直線．
的普通方程為，圓心，半徑．
的普通方程為．
因為圓心到直線的距離為，所以與只有乙個公共點．
（ⅱ）壓縮後的引數方程分別為
：（為引數）；：（t為引數）．
化為普通方程為：：，：，
聯立消元得，
其判別式，
所以壓縮後的直線與橢圓仍然只有乙個公共點，和與公共點個數相同．
2.（湖北卷理19）如圖，在以點為圓心，為直徑的半圓中，，是半圓弧上一點，
，曲線是滿足為定值的動點的軌跡，且曲線過點.
（ⅰ）建立適當的平面直角座標系，求曲線的方程；
（ⅱ）設過點的直線l與曲線相交於不同的兩點、.
若△的面積不小於，求直線斜率的取值範圍.
解：本小題主要考查直線、圓和雙曲線等平面解析幾何的基礎知識，考查軌跡方程的求法、不等式的解法以及綜合解題能力.（滿分13分）
（ⅰ）解法1：以o為原點，ab、od所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角座標系，則a（-2，0），b（2，0），d(0,2),p（），依題意得
｜ma｜-｜mb｜=｜pa｜-｜pb｜＝＜｜ab｜＝4.
∴曲線c是以原點為中心，a、b為焦點的雙曲線.
設實平軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，則c＝2，2a＝2，∴a2=2,b2=c2-a2=2.
∴曲線c的方程為.
解法2：同解法1建立平面直角座標系，則依題意可得｜ma｜-｜mb｜=｜pa｜-｜pb｜＜
｜ab｜＝4.∴曲線c是以原點為中心，a、b為焦點的雙曲線.
設雙曲線的方程為＞0，b＞0）.
則由解得a2=b2=2,
∴曲線c的方程為
(ⅱ)解法1：依題意，可設直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線c的方程並整理得（1-k2）x2-4kx-6=0.
∵直線l與雙曲線c相交於不同的兩點e、f，
設e（x，y），f(x2,y2)，則由①式得x1+x2=,於是
｜ef｜＝
＝而原點o到直線l的距離d＝，
∴s△def=
若△oef面積不小於2,即s△oef，則有
③綜合②、③知，直線l的斜率的取值範圍為
解法2：依題意，可設直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線c的方程並整理，
得（1-k2）x2-4kx-6=0.
∵直線l與雙曲線c相交於不同的兩點e、f，
∴.. ②
設e(x1,y1),f(x2,y2),則由①式得
｜x1-x2
當e、f在同一去上時（如圖1所示），
s△oef＝
當e、f在不同支上時（如圖2所示）.
s△ode=
綜上得s△oef＝於是
由｜od｜＝2及③式，得s△oef=
若△oef面積不小於2
④綜合②、④知，直線l的斜率的取值範圍為
3.（浙江卷理20文22）已知曲線c是到點p（-，）和到直線y=-距離相等的點的軌跡.l是過點q（-1，0）的直線，m是c上（不在l上）的動點；a、b在l上，mal，mbx軸（如圖）.
（ⅰ）求曲線c的方程；
（ⅱ）求出直線l的方程，使得為常數.
本題主要考查求曲線的軌跡方程、兩條直線的位置關係等基礎知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．滿分15分．
（ⅰ）解：設為上的點，則，
到直線的距離為．由題設得．
化簡，得曲線的方程為．
（ⅱ）解法一：設，直線，則
，從而．
在中，因為
，．所以.，．
當時，，從而所求直線方程為．
解法二：設，直線，則，從而
．過垂直於的直線．
因為，所以，
．當時，，
從而所求直線方程為．
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