南海藝術高中理科數學選做題訓練（1）
1.（2014·遼寧高考文科·ｔ22）如圖，ep交圓於e、c兩點，pd切圓於d，g為ce上一點且，連線dg並延長交圓於點a，作弦ab垂直ep，垂足為f.
（ⅰ）求證：ab為圓的直徑；
（ⅱ）若ac=bd，求證：ab=ed.
2.（2013·遼寧高考ｔ22）如圖，為的直徑，直線與相切於, 垂直於，垂直於，垂直於，連線.
證明： ;
3.（2013·新課標ⅰｔ22）如圖，直線ab為圓的切線，切點為b，點c在圓上，∠abc的角平分線be交圓於點e，db垂直be交圓於d。
（ⅰ）證明：db=dc； （ⅱ）設圓的半徑為1，bc= ，延長ce交ab於點f，求△bcf外接圓的半徑。
4.(2013·江蘇高考t21)如圖,ab和bc分別與圓o相切於點d,c,ac經過圓心o,且bc=2oc.求證:ac=2ad.
5.（2013·新課標全國ⅱ高考ｔ22） 如圖，cd為△abc外接圓的切線，ab的延長線交直線cd於點d，e、f分別為弦ab與弦ac上的點，且bcae=dcaf，b、e、f、c四點共圓.
（1） 證明：ca是△abc外接圓的直徑；
（2） 若db=be=ea,求過b、e、f、c四點的圓的面積與△abc外接圓面積的比值.
6.（2012·遼寧高考t22）相同如圖，⊙o和⊙相交於兩點，過a作兩圓的切線分別交兩圓於c，d兩點，連線db並延長交⊙o於點e.證明
(1). (2).
7.（2012·新課標全國高考ｔ22）如圖，d，e分別為△abc邊ab，ac的中點，直線de交△abc的外接圓於f，g兩點，若cf//ab，證明：(1)cd=bc.
(2)△bcd∽△gbd.
8. （2012·江蘇高考·ｔ21）如圖，ab是圓o的直徑，d，e為圓o上位於ab異側的兩點，連線bd並延長至點c，使bd = dc，連線ac，ae，de．
求證：．
9.（2011·新課標全國高考理科·ｔ22）如圖，，分別為的
邊， 上的點，且不與的頂點重合.已知的長為，
ac的長為n,，的長是關於的方程的兩個根.
（ⅰ）證明：，，，四點共圓；
（ⅱ）若，且，求，，，所在圓的半徑.[來
源m10.（2011·遼寧高考理科·ｔ22）如圖，a，b，c，d四點在同一圓上，ad的延長線與bc的延長線交於e點，且ec=ed．
（i）證明：cd//ab；
（ii）延長cd到f，延長dc到g，使得ef=eg，證明：a，b，g，f四點共圓．
【參***】
1.【解析】（ⅰ）證明：因為，所以.
由於為切線，所以，又由於，
所以.所以,
從而,由於,所以,於是，故ab為圓的直徑；
（ⅱ）證明：連線bc,dc.由於ab為圓的直徑，所以.在中，,從而≌.於是有;又因為,所以，故∥.由於，所以，為直角，則為直徑，所以ab=ed.
2.【證明】由直線與相切於,得由為的直徑，得，從而又垂直於，得，從而
由垂直於，得又垂直於，，為公共邊，
所以≌，所以同理可證，≌，所以
又在中, ,所以綜上，
3.【解析】（ⅰ）鏈結交於點.[由弦切角定理得，而∠abe=∠cbe，故，.又因為，所以為直徑，，由勾股定理得.
（ⅱ）由（ⅰ）知，，，[**:學|科|網z|x|x|k]
故是的中垂線，所以.[來設的中點為，鏈結，則，從而，所以，故的外接圓的半徑等於.
4.【證明】鏈結od.因為ab和bc分別與圓o相切於點d,c,
所以∠ado=∠acb=90°.又因為∠a=∠a,所以rt△ado∽rt△acb.
所以,又bc=2oc=2od,故ac=2ad.
5.【解析】（1）因為cd為處接圓的切線，所以，由題設知故∽，所以
因為b，e，f，c四點共圓，所以，故
所以，因此ca是外接圓的直徑.
(2)鏈結ce，因為，所以過b，e，f，c四點的圓的直徑為ce，由db＝be，有ce＝dc，又，所以而，故過b，e，f，c四點的圓的面積與外接圓面積的比值為
6.【解析】(1)由ac與圓相切於點a，得;同理，.
從而∽，所以.
（2）由ad與圓相切於點a，得;又,從而∽，所以，又由（1）知，，
所以.7.【證明】（1）因為d，e分別為ab，ac的中點，所以，
又已知，故四邊形是平行四邊形，所以.而，鏈結，所以四邊形adcf是平行四邊形，故cd＝af.因為，所以，故.
（2）因為故.由（1）可知，所以.所以∠bgd=∠bdg.又∠bdg=∠cbd，cb=cd，所以∠bgd=∠cbd=∠bdg=∠cdb，[來故∽.
8.【解析】連線od，因為bd＝dc，o為ab的中點，所以od//ac,於是，
因為ob＝od，所以，於是∠b＝∠c.
因為點a，e，b，d都在圓o上，且d，e為圓o上位於ab異側的兩點，所以和為同弧所對的圓周角，故，所以.
9.【精講精析】（i）連線de，根據題意在△ade和△acb中
即.又∠dae=∠cab,從而△ade∽△acb，因此∠ade=∠acb所以c,b,d,e四點共圓.（ⅱ） m=4, n=6時，方程x2-14x+mn=0的兩根為x1=2,x2=12.
故ad=2，ab=12.
取ce的中點g,db的中點f，分別過g,f作ac，ab的垂線，兩垂線相交於h點，連線dh.因為c，b，d，e四點共圓，所以c，b，d，e四點所在圓的圓心為h，半徑為dh.由於∠a=90°，故gh∥ab, hf∥ac.
hf=ag=5，df= (12-2)=5.故c,b,d,e四點所在圓的半徑為5.
10.【精講精析】（i）因為，所以.
因為四點在同一圓上，所以，[**:學|科|網z|x|x|k]
故，所以∥.
（ii）由（i）知，，因為，故，
從而.連線，則，故.
又∥，，所以.
所以.故四點共圓.
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