§4.4 三角函式式的求值、化簡與證明
【一線名師精講】
基礎知識要點
三角函式的恒等變形主要包括求值、化簡與證明三方面，這部分內容是三角函式的基礎，所以要求能熟練地運用公式進行計算.
1、 求值: 主要有三類求值問題
(1)「給角求值」：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看是很難的，但仔細觀察非特殊角與特殊角總有一定關係，解題時，要利用觀察得到的關係，結合公式轉化為特殊角並且消除非特殊角的三角函式而得解.
(2)「給值求值」：給出某些角的三角函式式的值，求另外一些角的三角函式值，解題關鍵在於「變角」，使其角相同或具有某種關係.
(3)「給值求角」：實質上也轉化為「給值求值」，關鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函式值結合該函式的單調區間求得角.
2、 化簡: 對三角和式,基本思路是降次、消項和逆用公式；對三角分式，基本思路是分子與分母約分或逆用公式；對二次根式，注意二倍角公式的逆用.另外，還可用切割化弦、變數代換、角度歸一等方法.
三角函式式的化簡要求──通過對三角函式式的恒等變形(或結合給定條件而進行的恒等變形),使最後所得到的結果中:(1)所含函式和角的名類或種類最少;(2)各項的次數盡可能地低;(3)出現的項數最少;(4)一般應使分母和根號下不含三角函式式;(5)能求具體數值的要求出值.
3、 三角等式的證明可分為三角恒等式的證明與三角條件等式的證明兩種
(1)證明三角恒等式的方法
觀察等式兩邊的差異(角、函式、運算的差異)，從解決某一差異入手（同時消除其他差異）決定從該等式的哪邊證明（也可兩邊同時化簡）.當從解決差異不易入手時,可採用轉換命題法或用分析法、數學歸納法等.
(2)證明三角條件等式的方法
首先觀察條件與結論的差異，從解決某一差異入手,確定從結論開始通過變換將已知表示式代入得出結論, 或通過變換已知條件得出結論, 如果這兩種方法都證不出來,可採用分析法;如果已知條件含引數,可採用消去引數法;如果已知條件是連比的式子,可用換元法,等等.
三角等式的證明要求──利用已知三角公式通過恒等變形(或結合給定條件運用三角公式), 論證所給等式左、右相等，要求過程清晰、步驟完整.
4、 三角函式式的求值、化簡、證明的核心是進行三角函式恒等變形，而三角函式恒等變形的實質就是：變換角；變換函式名稱；變換解析式結構. 要注意湊配變異求同，即湊角、湊名、湊常數，以達到理想結構變異目標.
要重視常規解法的練習,注意靈活運用角的變形和公式的變形,注意角的範圍對三角函式值的影響,注意角的範圍的討論.
高考中，三角函式式的化簡與證明已不多見，出現與之有關的題目是化簡某一三角函式,綜合考查這一函式的其他性質.但凡是與三角函式有關的問題,都以恒等變形、條件變形為研究手段，因此本學點內容的工具性作用不可小視.
基本題型指要
關於三角函式的求值問題，是每年高考的必考考點之一，它不僅考查了學生對基礎知識的掌握程度，更重要的體現了學生的靈活應變能力，這與新教材的改革方針是一致的.因此，在學習中，應重點掌握，通過精練，多分析，從中去理解公式，掌握基本的應用技能是很有必要的.尤其是對基礎的三角函式及的定義域進一步限制時，怎樣去求值問題.
[, ]
【例i】設，，求
的值.思路: 先化簡,再求值.
解析：又,
原式=點評: (1)當已知與求值的兩式之間的關係不明顯時,常常通過化簡,使其關係顯露出來.
(2)注意「，
，等變換.
[, ]
【例2】設、是一元二次方程的兩根，且，則（ ）
(a) (b) （c）或（d）或
錯解: 、是方程的兩根
， 、 或
，故選（c）
錯因：審題不仔細，其實兩根，隱含著負根這個條件，沒有挖掘出來，導致錯選（c）.
正解：，是方程的兩根
，，從而
， 故、
,故選（a）
[, ]
【例3】化簡.
思路：化簡結果究竟是什麼，我們不清楚，但化繁為簡卻是我們的不變目標。本題中分子是一完全平方式，分母中這兩大特徵應成為我們解題的功入點.
解析：原式==
點評:化簡題一定要找準解題的切入點，其中的降次、消元和變角是常用的化簡技巧.
[, ]
【例4】求證：
思路：觀察左、右兩邊式子間的差異，若選擇「從左證到右」，則「切化弦」的方法勢在必行；若選擇「從右證到左」，則倍角公式應是必用公式。
解析1：左邊=
解析2：右邊=
左邊點評：在三角變形中，1的變換作用不小，上例就用到換1為的「常量代換」技巧.
[, ]
【例5】若、、 成等差數列，、、成等比數列，求證：.
思路：待證式中不含θ，故應想到須從已知式中消去
解析：由題意得，兩邊平方得
，即又由、、cosθ成等比數列
，由、得點評：觀察所給條件和欲證結構間形式上的、結構上的異同點，通過「化異為同」、「求同存異」的變換，就有希望達到我們的解題目的.
【閱卷老師評題】
【例6】（2023年北京高考理）在中，求的值和的面積.
命題目的：主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識，考查運算能力.
考情分析：絕大多數的考生都能入手解題，不致束手無策。但部分考生因數值計算出差錯，三角函式值的符號判斷錯誤導致失分.
解析1：，
又，，解析2：
， ，+得-得
（以下同解析1）
【好題優化訓練】
a 、基礎鞏固
1、 下列式子中，不正確的是（ ）
（a）（b）
（c）（d）
答案：（b）
解析：由三角函式公式易知選（b）
2、 （2023年北京高考）若，則的值為（ ）
（a） （b） （c） （d）
答案：（a）
解析：由得
3、 已知，，且是第二象限的角，那麼的值是（ ）
（a） （b） （c） （d）
答案：（d）
解析：由，是第二象限角，得，故選（d）
4、（2023年北京春季高考）的值為
答案:1
解析: 利用兩角和與差的正弦公式將原式展開即得.
5、 已知
答案:8
解析:∵
b、技能培訓
6.、 化簡的結果為( )
(a) (b) (c) (d)
答案: (a)
解析: 原式=
7、的值等於( )
(a)4 (b)6 (c)8 (d)16
答案: (a)
解析:同理得,故選(a)
8、 若,是方程的兩根,和是方程的兩根, 那麼有( )
(a) (b)
(c) (d)
答案: (b)
解析:,
,同理故.
9、已知,
則的值是( )
(a)1 (b) (c) (d)
答案: (d)
解析:又 由2+2得:
10、 已知,是方程的兩實根, 則
答案: 3
解析:, 原式=
11、(2023年上海春季高考)已知, 若,則可化簡為
答案:解析:
12、 求值:
(1)(2)答案: (1) (2)
解析: (1)原式=
(2)原式
.13、化簡下列各式:
(1)(2)答案: (1) 1 (2)
解析: (1)原式=
(2)原式=
c、 思維拓展
14、設,且,求的值.
答案:解析: 而
又，,, 故.
15、已知函式
(1)將表示為的多項式;
(2)求曲線與至少有乙個公共點的實數的取值範圍.
答案: (1) (2)
解析: (1)
(2)令cos =t，∈（0，π），t∈（－1，1）
, (捨去)或.
則, 故
三角函式的化簡 求值與證明
課題 三角函式的化簡 求值與證明 能正確地運用三角函式的有關公式進行三角函式式的求值，能正確地運用三角公式進行三角函式式的化簡與恒等式的證明 熟練地運用三角公式進行化簡與證明 有關公式的靈活應用及一些常規技巧的運用 1 三角函式式的化簡 1 常用方法 直接應用公式進行降次 消項 切割化弦，異名化同名...
三角函式的化簡 求值與證明
一 知識回顧 1 三角函式式的化簡 1 常用方法 直接應用公式進行降次 消項 切割化弦，異名化同名，異角化同角 三角公式的逆用等。2 化簡要求 能求出值的應求出值 使三角函式種數盡量少 使項數盡量少 盡量使分母不含三角函式 盡量使被開方數不含三角函式 2 三角函式的求值型別有三類 1 給角求值 一般...
三角函式的化簡 求值 證明
一 基本概念及知識體系 三角函式的化簡 化同名 化同次 化同角。注意切化弦 公升冪 降冪，1 sin2 cos2 tan,sin 2 三角函式的給值求角和給角求值 證明 二 典例剖析 例1.化簡 點滴收穫 例2.已知函式。求的值 求的最大值和最小值。點滴收穫 例3.已知函式 求函式的最小正週期 求函...