概念： 1、調和平均數： [\\frac}+\\frac}++\\frac}\\end}', 'altimg': '', 'w': '201', 'h': '69'}]
2、幾何平均數： [a_a_a_\\end^}', 'altimg': '', 'w': '151', 'h': '32'}]
3、算術平均數： [a_+a_++a_\\end}', 'altimg': '', 'w': '189', 'h': '46'}]
4、平方平均數： [^+a_^++a_^}}', 'altimg': '', 'w': '179', 'h': '62'}]
這四種平均數滿足
t': 'latex', 'orirawdata': 'a_、a_、、a_∈r^', 'altimg':
'', 'w': '157', 'h': '28'}]，當且僅當[=a_==a_', 'altimg':
'', 'w': '122', 'h': '23'}]時取「=」號
均值不等式的一般形式：設函式[x\\end=\\begin\\frac^+a_^++a_^}\\end^}', 'altimg': '', 'w':
'220', 'h': '70'}](當 時); [x\\end=\\begina_a_a_\\end^}', 'altimg': '', 'w':
'175', 'h': '32'}](當時）（即 [0\\end=\\begina_a_a_\\end^}', 'altimg': '', 'w':
'176', 'h': '32'}]則有：當r=-1、1、0、2注意到hn≤gn≤an≤qn
僅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)
由以上簡化，有乙個簡單結論，中學常用
t': 'latex', 'orirawdata': none, 'altimg':
'', 'w': '0', 'h': '1'}][\\frac+\\frac\\end}≤\\sqrt≤\\frac≤\\sqrt+b^}}', 'altimg':
'', 'w': '276', 'h': '75'}]
均值不等式的變形：
(1)對實數a,b，有[+b^≥2ab', 'altimg': '', 'w': '107', 'h':
'25'}] (當且僅當a=b時取「=」號)， [,b^>0>2ab', 'altimg': '', 'w': '126', 'h':
'25'}]
(2)對非負實數a,b，有[≥0', 'altimg': '', 'w': '133', 'h':
'29'}]，即[a+b\\end}≥\\sqrt≥0', 'altimg': '', 'w': '150', 'h':
'43'}]
(3)對負實數a,b，有 [<0', 'altimg': '', 'w': '141', 'h': '29'}]
(4)對實數a,b，有 [a-b\\end≥b\\begina-b\\end', 'altimg': '', 'w': '153', 'h': '21'}]
(5)對非負實數a,b，有 [+b^≥2ab≥0', 'altimg': '', 'w': '134', 'h': '25'}]
(6)對實數a,b，有[+b^≥\\frac}≥2ab', 'altimg': '', 'w': '173', 'h': '48'}]
(7)對實數a,b,c，有[+b^+c^≥\\frac}', 'altimg': '', 'w': '179', 'h': '44'}]
(8)對實數a,b,c，有 [+b^+c^≥ab+bc+ac', 'altimg': '', 'w': '203', 'h': '25'}]
(9)對非負數a,b，有[+ab+b^≥\\fraca+b\\end^}', 'altimg': '', 'w': '196', 'h': '50'}]
(10)對實數a,b,c，有 [≥\\sqrt[3]', 'altimg': '', 'w': '132', 'h': '43'}]
均值不等式的證明：
方法很多，數學歸納法（第一或反向歸納）、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等
用數學歸納法證明，需要乙個輔助結論。
引理：設a≥0，b≥0，則[a+b\\end^≥a^+na^n-1\\endb}', 'altimg': '', 'w': '199', 'h': '28'}]
注：引理的正確性較明顯，條件a≥0，b≥0可以弱化為a≥0，a+b≥0
(用數學歸納法)。
原題等價於： [\\frac+a_++a_}\\end^≥a_a_a_', 'altimg': '', 'w': '249', 'h': '53'}]
當n=2時易證；
假設當n=k時命題成立，即
t': 'latex', 'orirawdata': '\\begin\\frac+a_++a_}\\end^≥a_a_a_', 'altimg':
'', 'w': '249', 'h': '53'}]
那麼當n=k+1時，不妨設[', 'altimg': '', 'w': '39', 'h':
'23'}]是[,a_,,a_', 'altimg': '', 'w': '115', 'h':
'23'}]中最大者，
則 [≥a_+a_++a_', 'altimg': '', 'w': '203', 'h': '23'}]
設 [+a_++a_', 'altimg': '', 'w': '147', 'h': '23'}]
[\\frac+a_++a_}\\end^=\\begin\\frac+\\frac-s}k+1\\end}\\end^\\\\ ≥\\frac\\frac\\end^+\\begink+1\\end\\begin\\frac\\end^\\beginka_-s\\end}k+1\\end}', 'altimg': '', 'w': '365', 'h':
'142'}]
用引理 [\\frac\\end^a_≥a_a_a_', 'altimg': '', 'w': '210', 'h': '50'}]
用歸納假設
下面介紹個好理解的方法
琴生不等式法
琴生不等式：上凸函式[x\\end,x_,x_,,x_', 'altimg': '', 'w':
'149', 'h': '23'}]是函式[x\\end', 'altimg': '', 'w':
'46', 'h': '21'}]在區間(a,b)內的任意n個點，
則有： [\\frac+x_++x_}\\end≥\\fracx_\\end+f\\beginx_\\end++f\\beginx_\\end}', 'altimg': '', 'w':
'378', 'h': '48'}]
設[x\\end=\\ln x', 'altimg': '', 'w': '95', 'h':
'21'}]，[x\\end', 'altimg': '', 'w': '46', 'h':
'21'}]為上凸增函式所以，
[\\frac+x_++x_}\\end≥\\frac+\\ln x_++\\ln x_}\\\\ =\\ln \\beginx_x_x_\\end^}', 'altimg': '', 'w': '379', 'h':
'73'}]
即 [+x_++x_}≥\\beginx_x_x_\\end^}', 'altimg': '', 'w': '250', 'h': '46'}]
在圓中用射影定理證明（半徑不小於半弦）
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常用均值不等式及證明證明
概念 1 調和平均數 2 幾何平均數 3 算術平均數 4 平方平均數 這四種平均數滿足 當且僅當時取 號 均值不等式的一般形式 設函式 當時 當時 即則有 當r 1 1 0 2注意到hn gn an qn 僅是上述不等式的特殊情形，即d 1 d 0 d 1 d 2 由以上簡化，有乙個簡單結論，中學常...
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