運用放縮的技巧證明有關數列前n項和的不等式

作者：曹文軍

**：《教師·理論研究》2023年第10期

摘要：縱觀近幾年的高考數學試題，數列解答題是高考命題中一類必考的難度較大的試題，其命題熱點是與不等式交匯的、呈現遞推關係的綜合性試題.數列與不等式一結合，難度就增大了，靈活性就高了，本文重點敘述有關數列前n項和的不等式證明的常見放縮技巧.

關鍵詞：不等式證明；數列；遞推式；放縮技巧；數列的前n項和

縱觀近幾年來各省市的高考試題，數列解答題通常是在給出遞推式的前提下先求出通項公式，然後再證明數列前n項和的不等式.如果這個數列的前n項的和可以求出的話，一般可採用比較法證出不等式，學生比較容易掌握；但往往根據通項公式很難求出（或求不出）該數列的前n項和，這時要證明不等式難度就很大，學生難以把握.

用放縮法證明這類不等式就是乙個很好的途徑.眾所周知，用放縮法證明不等式的理論根據是不等式的傳遞性，即a≤b且b≤c，則a≤c（或若a≥b且b≥c，則a≥c）。在證明過程中，無論是「放」還是「縮」，都必須尋找乙個中間量「b」，它既不能「放」得太大，也不能「縮」得太小.

1.從數列的通項公式的結構分析出發，對通項公式中的某個區域性（或部分）進行調整改變，達到放大（或縮小）的目的

例1（2023年四川理科高考數學第22題第3問）是否存在a∈n，使得an

分析：目標式子1+k是數列1+n的前n項和，根據對其通項1+n的觀察，我們可以用二項式定理展開後進行取捨，從而使其通項放大或縮小達到解決問題的目的.

解：對n∈n，且n>1，有