數列與不等式的綜合問題常常出現在高考的壓軸題中，是歷年高考命題的熱點，這類問題能有效地考查學生綜合運用數列與不等式知識解決問題的能力．本文介紹一類與數列和有關的不等式問題，解決這類問題常常用到放縮法，而求解途徑一般有兩條：一是先求和再放縮，二是先放縮再求和．
一．先求和後放縮
例1．正數數列的前項的和，滿足，試求：
（1）數列的通項公式；
（2）設，數列的前項的和為，求證：
解：（1）由已知得，時，，作差得：，所以，又因為為正數數列，所以，即是公差為2的等差數列，由，得，所以
（2），所以
注：一般先分析數列的通項公式．如果此數列的前項和能直接求和或者通過變形後求和，則採用先求和再放縮的方法來證明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比數列（這裡所謂的差比數列，即指數列滿足條件）求和或者利用分組、裂項、倒序相加等方法來求和．
二．先放縮再求和
1．放縮後成等差數列，再求和
例2．已知各項均為正數的數列的前項和為,且.
(1) 求證：；
(2) 求證：
解：（1）在條件中，令，得， ，又由條件有，上述兩式相減，注意到得
所以，，
所以（2）因為，所以，所以
； 2．放縮後成等比數列，再求和
例3．（1）設a，n∈n*，a≥2，證明：；
（2）等比數列中，，前n項的和為an，且a7，a9，a8成等差數列．設，數列前n項的和為bn，證明：bn＜．
解：（1）當n為奇數時，an≥a，於是，．
當n為偶數時，a－1≥1，且an≥a2，於是
． （2）∵，，，∴公比．
∴．．∴． 3．放縮後為差比數列，再求和
例4．已知數列滿足：，．求證：
證明：因為，所以與同號，又因為，所以，
即，即．所以數列為遞增數列，所以，
即，累加得：．
令，所以，兩式相減得：
，所以，所以，
故得．4．放縮後為裂項相消，再求和
例5．在m（m≥2）個不同數的排列p1p2…pn中，若1≤i＜j≤m時pi＞pj（即前面某數大於後面某數），則稱pi與pj構成乙個逆序. 乙個排列的全部逆序的總數稱為該排列的逆序數. 記排列的逆序數為an，如排列21的逆序數，排列321的逆序數．
（1）求a4、a5，並寫出an的表示式；
（2）令，證明，n=1,2,….
解（1）由已知得，.
（2）因為，
所以.又因為，
所以綜上，.
注：常用放縮的結論：（1）
（2）．
在解題時朝著什麼方向進行放縮，是解題的關鍵，一般要看證明的結果是什麼形式．如例２要證明的結論、為等差數列求和結果的型別，則把通項放縮為等差數列，再求和即可；如例3要證明的結論為等比數列求和結果的型別，則把通項放縮為等比數列，再求和即可；如例4要證明的結論為差比數列求和結果的型別，則把通項放縮為差比數列，再求和即可；如例5要證明的結論為裂項相消求和結果的型別，則把通項放縮為相鄰兩項或相隔一項的差，再求和即可．
雖然證明與數列和有關的不等式問題是高中數學中比較困難的問題，但是我們通過仔細分析它的條件與要證明的結論之間的內在關係，先確定能不能直接求和，若不能直接求和則要考慮把通項朝什麼方向進行放縮．如果我們平時能多觀測要證明結論的特徵與數列求和之間的關係，則仍然容易找到解決這類問題的突破口．
56用放縮法證明與數列和有關的不等式學案
一 放縮法的注意問題以及解題策略 1 明確放縮的方向 即是放大還是縮小，看證明的結論，是小於某項，則放大，是大於某個項，則縮小。2 放縮的項數 有時從第一項開始，有時從第三項，有時第三項，等等，即不一定是對全部項進行放縮。3 放縮法的常見技巧及常見的放縮式 1 根式的放縮 2 在分式中放大或縮小分子...
用放縮法證明與數列和有關的不等式 修改後
2011 05 19 14 18 文字大小 大 中 小 江蘇省江陰長涇中學嚴潔 數列與不等式的綜合問題常常出現在高考的壓軸題中，是歷年高考命題的熱點，這類問題能有效地考查學生綜合運用數列與不等式知識解決問題的能力 本文介紹一類與數列和有關的不等式問題，解決這類問題常常用到放縮法，而求解途徑一般有兩條...
放縮法證明與數列和有關的不等式 教師版
命題人 江海兵審題人 廖學軍 常用裂項放縮技巧 不全待續 1 有關的放縮，2 有關的放縮 3 有關的放縮 選學 4 5 6 有關指數型式子的放縮 題型一有關的裂項放縮 1 證明 解 利用從第二項開始放縮變式 證明 解 利用從第三項開始放縮 調整精度 2 證明 解 利用從第二項開始放縮 題型二先求和後...