1.1你能證明它們嗎
學習目標、重點、難點
【學習目標】
1、 等腰三角形的性質定理及推論；
2、 等腰三角形的判定定理及推論.
【重點難點】
1、 等腰三角形的性質定理及推論；
2、 等腰三角形的判定定理及推論.
3、 反證法
知識概覽圖
新課導引
如下圖所示，很多古代建築以及我們居住的一些房屋的屋頂都是人字形梁架．
【問題**】上面敘述的人字形梁架是由哪些圖形組成的呢?它們有哪些性質?
教材精華
知識點1 等腰三角形的性質定理
等腰三角形的性質定理：等腰三角形的兩個底角相等(簡述為等邊對等角)．
用符號語言表示為：如圖1－1所示，在△abc中，∵ab＝ac，∴∠b＝∠c．
定理的證明：
取bc的中點d，連線ad．
∵∴△abd≌△acd(sss)．
∴∠b＝∠c(全等三角形的對應角相等)．
定理的作用：證明同乙個三角形中的兩個內角相等．
拓展等腰三角形還具有其他性質．
(1)等腰直角三角形的兩個底角相等，都等於45°．
(2)等腰三角形的底角只能是銳角，不能是鈍角或直角，但頂角可以是銳角、鈍角或直角．
(3)等腰三角形的三邊關係：設腰長為a，底邊長為b，則＜a．
(4)等腰三角形的三角關係：設頂角為∠a，底角為∠b，∠c，則∠a＝180°－∠b－∠c＝180°－2∠b＝180°－2∠c．
知識點2 等腰三角形的性質定理的推論
推論1：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(簡稱「三線合一」)．
(1)用符號語言表示為：如圖1－3所示，
①在△abc中，∵ab＝ac，∠1＝∠2，∴ad⊥bc．bd＝dc；
②在△abc中，∵ab＝ac，ad⊥bc，∴∠1＝∠2，bd＝dc；
③在△abc中，∵ab＝ac，bd＝dc，∴∠1＝∠2，ad⊥bc．
(2)推論1的證明．
①在△abc中，∵ab＝ac，∠1＝∠2，ad＝ad，
∴△abd≌△acd(sas)．
∴bd＝dc，∠adb＝∠adc＝90°．∴ad⊥bc．
②在△abc中，∵ad⊥bc，∴∠adb＝∠adc＝90°．
∵ab＝ac，∴∠b＝∠c．又ad＝ad，∴rt△adb≌rt△adc(aas)．
∴∠1＝∠2，bd＝cd．
③在△abc中，∵ab＝ac，ad＝ad，bd＝cd，
∴△abd≌△acd(sss
∴∠1＝∠2，∠adb＝∠adc＝90°，∴ad⊥bc.
(3)推論1的作用：證明角相等、線段相等或垂直.
推論2：等邊三角形的三個角都相等，並且每個角都等於60°．
(1)用符號語言表示為：如圖1－4所示，
在△abc中，∵ab＝bc＝ac，∴∠a＝∠b＝∠c＝60°．
(2)推論2的證明：
∵ab＝ac，∴∠b＝∠c．
∵ab＝bc，∴∠a＝∠c．
∴∠a＝∠b＝∠c．
又∵∠a+∠b+∠c＝180°，即3∠a＝180°，
∴∠a＝∠b＝∠c＝60°．
知識點3 等腰三角形的判定定理
等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形(簡述為等角對等邊)．
用符號語言表示為：如圖1－6所示，在△abc中，
∵∠b＝∠c，∴ab＝ac
判定定理的證明：如圖1－6所示．
過a作ad⊥bc於d，則∠adb＝∠adc＝90°．
∵∠b＝∠c，ad＝ad，∴△abd≌△acd(aas)，
∴ab＝ac．
√判定定理的作用：證明同乙個三角形中的邊相等．
拓展如圖1－6所示，在△abc中
(1)如果ad⊥bc，∠1＝∠2，那麼ab＝ac；
(2)如果ad⊥bc，bd＝dc，那麼ab＝ac；
(3)如果∠1－∠2，bd＝dc，那麼ab＝ac．
知識點4 等腰三角形的判定定理的推論
推論1．
(1)推論1的內容：有乙個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形．
(2)用符號語言表示為：如圖1－8所示，在△abc中，∵ab＝ac，∠a＝60°(或∠b＝60°或∠c＝60°)，∴ab＝ac＝bc．
(3)推論1的證明：
在△abc中，∵ab＝ac，∴∠b＝∠c．
又∵∠a＝60°，∴∠b＝∠c＝＝60°
∴ab＝ac＝bc．
(或∵∠b＝60°，∴∠a＝180°－2∠b＝60°．∴ab＝ac＝bc．或∵∠c＝60°，∴∠a＝180°－2∠c＝60°．∴ab＝ac＝bc．)
√推論2．
(1)推論2的內容：三個角都相等的三角形是等邊三角形．
(2)用符號語言表示為：如圖1－8所示，在△abc中，∵∠a＝∠b＝∠c，∴ab＝ac＝bc．
(3)推論2的證明：
在△abc中，∵∠a＝∠b，∴bc＝ac(等角對等邊)．
又∵∠b＝∠c，∴ab＝ac(等角對等邊)．∴ab＝ac＝bc．
(4)推論1和推論2的作用：證明乙個三角形是等邊三角形．
拓展判定乙個三角形是等邊三角形主要有以下三種方法：
(1)根據等邊三角形的定義，證明三條邊相等；
(2)根據推論1，證明兩條邊相等，有乙個角是60°；
(3)根據推論2，證明三個角都相等．
√推論3．
(1)推論3的內容：在直角三角形中，如果乙個銳角等於30。，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半．
(2)用符號語言表示為：如圖1－9所示，在rt△abc中，∵∠c＝90°，∠a＝30°，∴bc＝ab．
(3)推論3的作用：證明一條線段是另一條線段的一半或2倍．
知識點5 反證法
先假設命題的結論不成立，然後從假設出發，推導出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結果，從而否定假設，證明命題的結論一定成立，這種證明方法稱為反證法．
拓展反證法是一種常用的間接證明方法，用反證法的一般步驟是：
(1)假設命題不成立；
(2)從假設出發推導出矛盾；
(3)否定假設，從而肯定命題的結論．
規律方法小結
1．轉化思想：在等腰三角形的性質定理和判定定理的證明過程中，都是通過構造全等三角形，轉化為全等得以證明的
2．模擬思想：採用模擬思想，把等腰三角形的性質和判定對照著學習．
3．用反證法進行證明時，注意推理的規範性和邏輯的嚴密性，不能忽略任何一種可能的情況．
**交流
想一想：還有其他方法證明等腰三角形的性質定理嗎？
解析有，作等腰三角形abc的頂角平分線ad，如圖1－2所示.
∵∴△abd≌△acd(sas).
∴∠b＝∠c(全等三角形的對應角相等)
課堂檢測
基礎知識應用題
1、如圖1－10所示，在△abc中，ab＝ac，ad＝ac，ae＝ab．求證bd＝ce．
2、如圖1－12所示，已知點d，e在△abc的邊bc上，ab＝ac，ad＝ae．求證bd＝ce．
3、 如圖1－13所示，已知∠cae是△abc的乙個外角，∠1＝∠2，ad∥bc，
求證△abc是等腰三角形．
綜合應用題
4、 下面是數學課堂的乙個學習片段，閱讀後，回答問題
5、 學習等腰三角形的有關內容後，張老師請同學們交流討論這樣乙個問題：已知等腰三角形abc的∠a等於30°，求其餘兩角．
同學們經過片刻的思考與交流後，李明同學舉手說：「其餘兩角是30°和120°．」王華同學說：「其餘兩角是75°和75°．」還有一些同學也提出了不同的看法……
假如你也在課堂上，你的意見如何?為什麼?
探索創新題
5、已知等邊三角形abc和點p，設點p到△abc三邊ab，ac，bc的距離分別是h1，h2，h3，△abc的高為h，若點p在邊bc上，如圖1－17(1)所示，此時h3＝0，可得結論：h1+h2+h3＝h．
請直接應用上述資訊解決下列問題：
點p在△abc內，如圖1－17(2)所示．點p在△abc外，如圖1－17(3)所示，這兩種情況時，上述結論是否還成立?若成立，請給出證明；若不成立，h1，h2，h3與h之間又有怎樣的關係?請寫出你的猜想，不需證明．
體驗中考
1、已知等腰三角形abc的周長為10．若設腰長為x，則x的取值範圍是 ．
2、如圖1－20所示，在△abc和△def中，ab＝de，be＝cf，∠b＝∠1．求證ac＝df(要求：寫出證明過程中的重要依據)
學後反思
附： 課堂檢測及體驗中***
課堂檢測
1、證法1：∵ab＝ac，ad＝ac，ae＝ab(已知)，
∴ad＝ae．
在△abd和△ace中，
∵abd≌△ace(sas)，
∴bd＝ce(全等三角形的對應邊相等)．
證法2：∵ab＝ac(已知)，
abc＝∠acb(等邊對等角)．
∵ad＝ac，ae＝ab，
∴cd＝ac，be＝ab，
∴cd＝be(等量代換)．
在△dbc和△ecb中，
∵dbc≌△ecb(sas)，
∴bd＝ce(全等三角形的對應邊相等)．
【解題策略】認真觀察bd邊和ce邊所在的三角形，尋找三角形全等的條件．
2、 分析本題考查等腰三角形的性質定理及其推論的應用．要證明線段bd＝ce，可以證明△abd≌△ace．由已知ab＝ac，ad＝ae，所以只要證明∠bad＝∠cae即可，這可由「等邊對等角」得出∠ade＝∠aed，∠b＝∠c來證明．本題還可以運用「三線合一」的性質作輔助線(高af)來證明．
證法1：∵ab＝ac，ad＝ae，
b＝∠c，∠ade＝∠aed(等邊對等角)，
ade－∠b＝∠aed－∠c，
即∠bad＝∠cae．
在△abd與△ace中，
∵ab＝ac，∠bad＝∠cae，ad＝ae，
abd≌△ace(sas)．
∴bd＝ce．
證法2：過a作af⊥bc，垂足為f，則af⊥de．
∵ab＝ac，ad＝ae，af⊥bc，af⊥de，
∴bf＝cf，df＝ef(等腰三角形「三線合一」)．
∴bf－df＝cf－ef，即bd＝ce．
規律·方法作等腰三角形底邊上的高(或頂角平分線、底邊上的中線)，從而運用等腰三角形「三線合一」的性質進行解答，這是引輔助線的常見方法，在學習過程中要注意積累，並靈活運用．
3、分析本題考查等腰三角形的判定定理的應用．要證明△abc是等腰三角形，需證明∠b＝∠c，這可利用已知條件得出．
1 1你能證明它們嗎 2 同步練習 北師大版九年級上
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