一、解答題（共10小題）（選答題，不自動判卷）
1．（2009遵義）如圖，在平面直角座標系中，矩形oabc的頂點座標為o（0，0），a（2
，0），b（2
，2），把矩形oabc繞點o逆時針方向旋轉α度，使點b正好落在y軸正半軸上，得到矩形oa1b1c1．
（1）求角α的度數；
（2）求直線a1b1的函式關係式，並判斷直線a1b1是否經過點b，為什麼？
解：考點：一次函式綜合題．
專題：綜合題．
分析：（1）由於a（2
，0），b（2
，2），根據旋轉知道a1b1=ab，oa=oa1，然後利用三角函式可以求出∠a1ob1的度數，再求出α的度數；
（2）利用勾股定理求出ob的長度，也就求出了b1o的長度，利用α的度數可以求出a1的座標，再利用待定係數法求出直線a1b1的函式關係式，也可以判斷直線a1b1是否經過點b．
解答：解：（1）∵a（2
，0），b（2
，2），
∴a1b1=ab=2，oa=oa1=2
，∴tan∠a1ob1=a1b1：oa1=2：2
=1：，
∴∠a1ob1=30°，
∴α=60°；
（2）在rt△a1b1o中，b1o=
=4，∴b1的座標為（0，4），
如圖過a1作a1e⊥oa於e，
∵α=60°，
∴a1e=3，oe=
，∴a（
，3），
設直線a1b1的解析式為y=kx+b，
依題意得
，∴k=-
，b=4，
∴y=-
x+4．
而b（2
，2），
代入解析式中，左邊=2，右邊=-
×2+4=2；
左邊=右邊，
∴直線a1b1經過點b．
點評：此題把一次函式與矩形相結合，考查了同學們綜合運用所學知識的能力，是一道綜合性較好的題目．其中求α的度數是解題的突破口．
答題：liuzhx老師
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2．（2009資陽）如圖，已知四邊形abcd、aefg均為正方形，∠bag=α（0°＜α＜180°）．
（1）求證：be=dg，且be⊥dg；
（2）設正方形abcd、aefg的邊長分別是3和2，線段bd、de、eg、gb所圍成封閉圖形的面積為s．當α變化時，指出s的最大值及相應的α值．（直接寫出結果，不必說明理由）
解：考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質；旋轉的性質．
專題：綜合題．
分析：（1）根據正方形的性質可得到△dag≌△bae（sas），且ad、ab夾角為90°，所以△bae是△dag順時針旋轉90°得到的．
（2）當α=90°時，點e、點g分別在ba、da的延長線上，形成的圖形是乙個等腰梯形bdeg，且面積最大，可以知道∠bag=90°．
解答：（1）證明：
證法一：∵四邊形abcd，aefg均為正方形，
∴∠dab=∠gae=90°，ad=ab，ag=ae，（2分）
∴將ad、ag分別繞點a按順時針方向旋轉90°，它們恰好分別與ab、ae重合．
即點d與點b重合，點g與點e重合．（3分）
∴dg繞點a順時針旋轉90°與be重合，（5分）
∴be=dg，且be⊥dg．（6分）
證法二：∵四邊形abcd、aefg均為正方形，
∴∠dab=∠gae=90°，ad=ab，ag=ae，（2分）
∴∠dab+α=∠gae+α，
∴∠dag=∠bae，
①當α≠90°時，由前知△dag≌△bae（sas），（2分）
∴be=dg，（3分）
∴∠adg=∠abe，（4分）
設直線dg分別與直線ba、be交於點m、n，
又∵∠amd=∠bmn，∠adg+∠amd=90°，
∴∠abe+∠bmn=90°，（5分）
∴∠bnd=90°，
∴be⊥dg，（6分）
②當α=90°時，點e、點g分別在ba、da的延長線上，顯然be=dg，且be⊥dg．
（說明：未考慮α=90°的情形不扣分）
（2）解：當α=90°時，點e、點g分別在ba、da的延長線上，形成的圖形是乙個等腰梯形bdeg，
通過觀察比較可知，當α=90°時，s有最大值，且s=
×3×2×2+
×2×2+
×3×3=
．（7分）
當s取得最大值時，α=90°．（8分）
點評：本題利用了正方形的性質，旋轉的判定性質，以及有乙個公共點的兩個正方形的對角線形成的圖形，其面積的最大值的問題．
答題：王岑老師
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3．（2010保山）如圖，已知直線l的解析式為y=-x+6，它與x軸、y軸分別相交於a、b兩點，平行於直線l的直線n從原點o出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，運動時間為t秒，運動過程中始終保持n∥l，直線n與x軸、y軸分別相交於c、d兩點，線段cd的中點為p，以p為圓心，以cd為直徑在cd上方作半圓，半圓面積為s，當直線n與直線l重合時，運動結束．
（1）求a、b兩點的座標；
（2）求s與t的函式關係式及自變數t的取值範圍；
（3）直線n在運動過程中，
①當t為何值時，半圓與直線l相切？
②是否存在這樣的t值，使得半圓面積s=
s梯形abcd？若存在，求出t值．若不存在，說明理由．
解：4．（2009資陽）已知z市某種生活必需品的年需求量y1（萬件）、**量y2（萬件）與**x（元/件）在一定範圍內分別近似滿足下列函式關係式：y1=-4x+190，y2=5x-170．當y1=y2時，稱該商品的**為穩定**，需求量為穩定需求量；當y1＜y2時，稱該商品的供求關係為供過於求；當y1＞y2時，稱該商品的供求關係為供不應求．
（1）求該商品的穩定**和穩定需求量；
（2）當**為45（元/件）時，該商品的供求關係如何？為什麼？
解：考點：一次函式的應用．
專題：壓軸題．
分析：（1）因為當y1=y2時，稱該商品的**為穩定**，需求量為穩定需求量，所以有-4 x+190=5x-170，解之即可．
（2）令x=45，分別求出y1、y2中相應的y值，進行判斷即可．
解答：解：（1）由y1=y2，得：-4x+190=5x-170（2分）
解得x=40 （3分）
此時的需求量為y1=-4×40+190=30（4分）
因此，該商品的穩定**為40元/件，穩定需求量為30萬件．
（2）當x=45時，y1=-4×45+190=10（5分）
y2=5×45-170=55 （6分）
∴y1＜y2（7分）
∴當**為45元/件時，該商品供過於求．（8分）
點評：本題只需仔細分析題意，利用方程即可求解．
答題：hnaylzhyk老師
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5．（2010鞍山）①如圖，四邊形abcd中，對角線相交於點o，e、f、g、h分別是ad，bd，bc，ac的中點．
（1）求證：四邊形efgh是平行四邊形；
（2）當四邊形abcd滿足乙個什麼條件時，四邊形efgh是菱形？並證明你的結論；
②如圖，在rt△abc中，∠acb=90°，ac=bc，d為bc中點，ce⊥ad於e，bf∥ac，交ce的延長線與點f．求證：ab垂直平分df．
解：6．（2010鞍山）如圖，矩形abcd中，ad=3厘公尺，ab=a厘公尺（a＞3）．動點m，n同時從b點出發，分別沿ba，bc運動，速度是1厘公尺/秒．過m作直線垂直於ab，分別交an，cd於p，q．當點n到達終點c時，點m也隨之停止運動．設運動時間為t秒．
（1）若a=4厘公尺，t=1秒，則pm=______厘公尺；
（2）若a=5厘公尺，求時間t，使△pnb∽△pad，並求出它們的相似比；
（3）若在運動過程中，存在某時刻使梯形pmbn與梯形pqda的面積相等，求a的取值範圍；
（4）是否存在這樣的矩形：在運動過程中，存在某時刻使梯形pmbn，梯形pqda，梯形pqcn的面積都相等？若存在，求a的值；若不存在，請說明理由．
解：7．（2009淄博）如圖，在矩形abcd中，bc=20cm，p，q，m，n分別從a，b，c，d出發沿ad，bc，cb，da方向在矩形的邊上同時運動，當有乙個點先到達所在運動邊的另乙個端點時，運動即停止．已知在相同時間內，若bq=xcm（x≠0），則ap=2xcm，cm=3xcm，dn=x2cm．
（1）當x為何值時，以pq，mn為兩邊，以矩形的邊（ad或bc）的一部分為第三邊構成乙個三角形；
（2）當x為何值時，以p，q，m，n為頂點的四邊形是平行四邊形；
（3）以p，q，m，n為頂點的四邊形能否為等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，請說明理由．
解：8．（2009中山）如圖所示，在矩形abcd中，ab=12，ac=20，兩條對角線相交於點o．以ob、oc為鄰邊作第1個平行四邊形obb1c，對角線相交於點a1；再以a1b1、a1c為鄰邊作第2個平行四邊形a1b1c1c，對角線相交於點o1；再以o1b1、o1c1為鄰邊作第3個平行四邊形o1b1b2c1…依此類推．
（1）求矩形abcd的面積；
（2）求第1個平行四邊形obb1c，第2個平行四邊形和第6個平行四邊形的面積．
解：考點：矩形的性質；勾股定理；平行四邊形的判定；菱形的性質．
專題：壓軸題；規律型．
分析：（1）直角三角形abc中，有斜邊的長，有直角邊ab的長，bc的值可以通過勾股定理求得，有了矩形的長和寬，面積就能求出了．
（2）不難得出ocb1b是個菱形．那麼它的對角線垂直，它的面積=對角線積的一半，我們發現第乙個平行四邊形的對角線正好是原矩形的長和寬，那麼第乙個平行四邊形的面積是原矩形的一半，依此類推第n個平行四邊形的面積就應該是
×原矩形的面積．由此可得出第2個和第6個平行四邊形的面積．
解答：解：（1）∵四邊形abcd是矩形，ac=20，ab=12
∴∠abc=90°，bc=
==16
∴s矩形abcd=abbc=12×16=192．
（2）∵ob∥b1c，oc∥bb1，
∴四邊形obb1c是平行四邊形．
∵四邊形abcd是矩形，
∴ob=oc，
∴四邊形obb1c是菱形．
∴ob1⊥bc，a1b=
bc=8，oa1=
ob1=
=6；∴ob1=2oa1=12，
∴s菱形obb1c=
bcob1=
×16×12=96；
同理：四邊形a1b1c1c是矩形，
∴s矩形a1b1c1c=a1b1b1c1=6×8=48；
‥‥‥第n個平行四邊形的面積是：sn＝
∴s6=
=3．點評：本題綜合考查了平行四邊形的性質，菱形的性質和勾股定理等知識點的綜合運用，本題中找四邊形的面積規律是個難點．
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