推理與證明學案

2.1.1合情推理（一）——歸納推理

了解合情推理的含義，能利用歸納推理進行簡單的推理，了解並體會合情推理在數學發現中的作用。

1.推理

根據乙個或幾個事實(或假設)得出乙個判斷,這種思維方式叫推理.

從結構上說,推理一般由兩部分組成,一部分是已知的事實(或假設)叫做前提,一部分是由已知推出的判斷,叫結論.

2、合情推理:

根據已有的事實,經過觀察、分析、比較、聯想，再進行歸納、模擬，然後提出的推理叫合情推理。

合情推理可分為歸納推理和模擬推理兩類：

（1）歸納推理：由某類事物的部分物件具有某些特徵，推出該類事物的全部物件具有這些特徵的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理。簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理

（2）模擬推理：由兩類物件具有某些類似特徵和其中一類物件具有的某些已知特徵，推出另一類物件也具有這些特徵的推理，簡言之，模擬推理是由特殊到特殊的推理。

例1．觀察下列等式

12）例2.蜜蜂被認為是自然界中最傑出的建築師，單個蜂巢可以近似地看作是乙個正六邊形，如圖為一組蜂

巢的截面圖. 其中第乙個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規律，以

表示第幅圖的蜂巢總數.則

【解題思路】找出的關係式

[解析]

例3. 已知：；

通過觀察上述兩等式的規律，請你寫出一般性的命題：

並給出（ * ）式的證明.

解：一般形式:

證明：左邊 =

=== =（將一般形式寫成

等均正確。）

例2.在數列中,a1=1,an+1=,n∈n*,猜想這個數列的通項公式是什麼？這個猜想正確嗎？說明理由.

解在中,a1=1,a2==,a3===,a4==,…,

所以猜想的通項公式an=.這個猜想是正確的.

證明如下:因為a1=1,an+1=,所以==+,即-=,

所以數列是以=1為首項,為公差的等差數列,所以=1+ (n-1)= n+,

所以通項公式an=.

例3. 請你把不等式「若是正實數，則有」推廣到一般情形，並證明你的結論。

答案：推廣的結論：若都是正數，[**:學科網zxxk]

證明： ∵都是正數 ∴ ，

………，，

例4. (2012湖南16)設n=2n（n∈n*，n≥2），將n個數x1,x2,…，xn依次放入編號為1,2，…，n的n個位置，得到排列p0=x1x2…xn.將該排列中分別位於奇數與偶數字置的數取出，並按原順序依次放入對應的前和後個位置，得到排列p1=x1x3…xn-1x2x4…xn，將此操作稱為c變換，將p1分成兩段，每段個數，並對每段作c變換，得到；當2≤i≤n-2時，將pi分成2i段，每段個數，並對每段c變換，得到pi+1，例如，當n=8時，p2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此時x7位於p2中的第4個位置.

（1）當n=16時，x7位於p2中的第___個位置；

（2）當n=2n（n≥8）時，x173位於p4中的第___個位置.

1.觀察式子：，…，則可歸納出式子為（）

ab、[**:學科網]

cd、答案：c。解析：用n=2代入選項判斷。

2.設平面內有條直線，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用表示這條直線交點的個數，則當時用表示）

【答案】5，

解析：由圖可得，

由，，，

，可推得

∵n每增加1，則交點增加個，∴．

3. 應用歸納推理猜測的結果.

1.下列關於歸納推理的說法錯誤的是（）.

a.歸納推理是由一般到一般的一種推理過程

b.歸納推理是一種由特殊到一般的推理過程

c.歸納推理得出的結論具有或然性，不一定正確

d.歸納推理具有由具體到抽象的認識功能

2.若，下列說法中正確的是（）.

a.可以為偶數 b.一定為奇數

c.一定為質數 d.必為合數

3.已知，猜想的表示式為

a. b.

c. d.

4.，經計算得猜測當時，有

5. 從中得出的一般性結論是

6.設，，n∈n，則

解：，由歸納推理可知其週期是4

7. 右圖中5個圖形及相應點的個數的變化規律,試猜測第n個圖形中有點；

8. (2012福建14)數列的通項公式，前項和為，則

9. 已知數列{}的前n項和，，滿足，計算並猜想的表示式.

10.（14分）觀察以下各等式：

，分析上述各式的共同特點，猜想出反映一般規律的等式，並對等式的正確性作出證明．

………………4分

證明：..

12.1.1合情推理（二）——模擬推理

了解合情推理的含義，能利用模擬進行簡單的推理；認識數學在日常生產生活中的重要作用，增強學生學數學，用數學，完善數學的正確數學意識；

合情推理可分為歸納推理和模擬推理兩類：

模擬推理的一般步驟：

⑴ 找出兩類物件之間可以確切表述的相似特徵；

⑵ 用一類物件的已知特徵去推測另一類物件的特徵，從而得出乙個猜想；

⑶ 檢驗猜想。即

例1、試根據等式的性質猜想不等式的性質。

等式的性質猜想不等式的性質：

(1) a=ba+c=b+c1) a＞ba+c＞b+c;

(2) a=b ac=bc2) a＞b ac＞bc;

(3) a=ba2=b2;等等3) a＞ba2＞b2;等等。

問：這樣猜想出的結論是否一定正確？

例2. 在平面上，我們如果用一條直線去截正方形的乙個角，那麼截下的乙個直角三角形，

按圖所標邊長，由勾股定理有：

設想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時從正方體上截下三條側稜兩兩垂直的三稜錐o—lmn，如果用表示三個側面面積，表示截面面積，那麼你模擬得到的結論是

解：。分析：這是由低維（平面）到高維（空間）之間的模擬。

三角形中的許多結論都可以模擬到三稜錐中（當然必須經過論證其正確性），像直角三角形中的勾股定理模擬到三側面兩兩垂直的三稜錐中，則有s△abc2＋s△acd2＋s△adb2= s△bcd2。需要指出的是，勾股定理的證明也可進行模擬。如在rt△abc中，過a作ah⊥bc於h，則由ab2=bh·bc，ac2=ch·bc相加即得ab2＋ac2=bc2；在三側面兩兩垂直的三稜錐a—bcd中，過a作ah⊥平面bcd於h，類似地由s△abc2=s△hbc·s△bcd，s△acd2=s△hcd·s△bcd，s△adb2=s△hdb·s△bcd相加即得s△abc2＋s△acd2＋s△adb2= s△bcd2。

變式：在△abc中，若∠c=90°，ac=b,bc=a，則△abc的外接圓的半徑，把上面的結論推廣到空間，寫出相類似的結論。

答案：本題是「由平面向空間模擬」。考慮到平面中的圖形是乙個直角三角形，

所以在空間中我們可以選取有3個面兩兩垂直的四面體來考慮。

取空間中有三條側稜兩兩垂直的四面體a—bcd，且ab=a，ac=b，ad=c，

則此三稜錐的外接球的半徑是。

**：直角三角形與直角四面體的模擬：

例3.橢圓與雙曲線有許多優美的對偶性質.對於橢圓有如下命題:

ab是橢圓的不平行於對稱軸且過原點的弦，m為ab的中點，則,那麼對於雙曲線則有如下命題:ab是雙曲線的不平行於對稱軸且過原點的弦，m為ab的中點，則

2.. 設, , ,則有

,.兩式相減得,

即, ,即.

例4、（2006上海）已知函式有如下性質：如果常數a>o，那麼該函式在上是減函式，在上是增函式。

（1）如果函式的值域為，求b的值；

（2）研究函式（常數在定義域內的單調性，並說明理由；

（3）對函式和（常數作出推廣，使它們都是你所推廣

的函式的特例，研究推廣後的函式的單調性（只須寫出結論，不必證明）。

解：（1）函式在上是減函式，在上是增函式，所以該函式在處取得最小值令，得

（2）設，顯然函式在上是減函式，在上是增函式，令得，令得或

又因為在上是減函式，在上是增函式，於是利用復合函式的單調性知，函式在上是減函式，在上是增函式，在上是減函式，上是增函式。

（3）推廣結論：當n是正奇數時，函式（常數是奇函式，故在上是增函式，在是減函式，在上是減函式，在上是增函式。

推理與證明學案

推理與證明132直接證明與間接證明學案

命題與證明學案

推理與證明導學案

推理與證明學案

推理與證明132直接證明與間接證明學案

命題與證明學案

推理與證明導學案

相關推薦