南京師大附中江寧分校葉軍
是乙個非常著名的無理數，第乙個發現並堅持這個結果的希帕索斯因此付出了生命的代價——後世的數學史家所說的「第一次數學危機」蓋源於此.「危機」過去後，喚醒的卻是數學家們對數的重新認識，實數的概念開始確立，在此意義上講，的發現是人們對真理的追求、探索以致明朗的乙個極好見證.
換乙個角度來看這個數，我們可以把它看作一根「晾衣繩」，上面懸掛著許多有趣的方法，從中可以窺見數學的趣味.我們準備從不同的角度來證明是乙個無理數，以體會這一點.
證法1：尾數證明法.假設是乙個有理數，即可以表示為乙個分數的形式=.
其中(a,b)=1，且a與b都是正整數.則.由於完全平方數的尾數只能是0、1、4、5、6、9中的乙個，因此的尾數只能是0、2、8中的乙個.
因為，所以與的尾數都是0，因此的尾數只能是0或5，因此a與b有公因數5，與(a,b)=1矛盾！因此是無理數.
這個證法可以證明被開方數的尾數是2、3、7、8的平方根都是無理數.
證法2：奇偶分析法.假設=.
其中(a,b)=1，且a與b都是正整數.則.可知a是偶數，設a=2c,則，，可知b也是偶數，因此a、b都是偶數，這與(a,b)=1矛盾！
因此是無理數.
希帕索斯就是用這種方法證明了不是有理數，動搖了畢達哥拉斯學派的「萬物皆數(任何數都可表示成整數之比)」的數學信仰，使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌，希帕索斯因此葬身海底.
證法3：仿上，得到，易見b>1，否則b=1，則=a是乙個整數,這是不行的.改寫成.
因為b>1，因此b有素因子p，因此p整除或a，總之，p整除a，因此p同時整除a與b，這與(a,b)=1矛盾.
證法4：仿上，得到，等式變形為，因為b>1，因此存在素因子p，p整除a+b或a-b之一，則同時整除a+b與a-b，因此p整除a，因此p是a、b的公因數，與(a,b)=1矛盾.
證法5：利用代數基本定理，如果不考慮素因子的順序，任何乙個正整數都可以唯一地寫成素數冪的積的形式，因此，，其中與都是素數，與都是正整數，因此=2，素數2在等式左邊是偶數次冪，但在右邊是奇數次冪，矛盾，因此是無理數.
證法6：假設=，其中右邊是最簡分數，即在所有等於的分數中，a是最小的正整數分子，在的兩邊減去ab有，，即，右邊的分子2b-a證法7：連分數法.因為=1，因此，
，將分母中的用代替，有，不斷重複這個過程，得=，這是乙個無限連分數.而任何有理數都可以表示為分子都是1分母為正整數的有限連分數，因此是無理數.
證法8：構圖法。以上諸多證法的關鍵之處在於，證明沒有正整數解。
若不然，可以b、a為邊構造正方形(b 但是，人們對超越數的了解還是太少。至今數學家們仍然不知道，e e e e 是否是超越數。雖然如此，大家還是普遍相信它們都是超越數，畢竟它們不大可能恰好滿足乙個各項係數都是整數的多項式方程。可計算數與不可計算數 圓周率的小數展開看上去似乎是完全隨機的，但畢竟是有辦法算出來的。如果你想知道 的小數點後第... 君召初中八年級數學 上 冊導學案 總第 6 課時 課題 認識無理數 1 課型 新授時間 備課人 張彥勳審核人 學習目標 1.通過拼圖活動，讓學生感受生活中確實存在著不同於有理數的數 2.能夠判斷乙個數是不是有理數 學習重點 感知生活中確實存在著不同於有理數的數.會判斷乙個數是否為有理數 學習內容與過... 1 選擇題 1 下列一組數 8，2.6，3，2，5.7中負分數有 a 1個 b 2個 c 3個 d 4個 2.課堂上老師要求就數 0 發表自己的意見，四位同學共說了下列四句話 0是整數，但不是自然數 0既不是正數，也不是負數 0不是整數，是自然數 0沒有實際意義 其中正確的個數是a 4 b 3c 2...比根號2更「無理」的數
認識無理數 1 導學案
2 2有理數與無理數專項練習