elementary mathematics research
一、本大綱適用專業
數學與應用數學。
二、課程性質與目的
1. 課程目標
（1）使學生了解初等數學的研究物件，明確初等數學在數學學科中的地位、作用以及本課程與中學數學的聯絡；
（2）使學生理解初等數學中的概念、原理、法則、方法等；
（3）使學生掌握初等數學的理論體系和結構以及初等數學中的重要的思想方法；
（4）使學生學會運用高等數學的理論和觀點分析研究初等數學，熟練地運用重要的思想方法解決初等數學中的問題；
（5）使學生對中學數學新課程改革的基本思想和內容的設定有個較為全面地了解和認識，並產生自己的思考；
（6）使學生提高分析、認識和處理中學數學教材的水平，培養學生獨立思考、探索研究、分析和解決問題的能力，以及養成數學的思維習慣；
（7）為學生今後從事數學教師職業提供必要的專業訓練和知識準備，以及輔導中學生研究數學問題所需的基本方法。
2. 與其它課程的關係
《初等數學研究》是在學習了《數學分析》、《高等代數》、《解析幾何》等專業基礎課的基礎上開設的，並且與後繼課程《現代教育學》、《教育心理學》、《數學課程與教學論》、《數學方**與數學史》等教育理論，《幾何畫板與flash製作》、《競賽數學》等緊密結合。
3. 開設學期
按培養方案規定的學期開設。
三、教學方式及學時分配
四、教學內容、重點
第一章數系
1. 教學目標
（1）了解數系擴充套件的兩種形式及其所遵循的原則；
（2）掌握自然數的基數理論及整數環的構造；
（3）理解自然數集擴充到有理數集的有關概念，弄清自然數、整數運算的概念及其運算律，掌握有理數大小比較的法則、有理數的運算法則和有理數域的性質；
（4）理解無理數、實數概念，掌握實數大小比較的法則、實數的運算法則和實數域的性質；
（5）理解複數概念，掌握複數的兩種表示形式、複數的運算和複數域的性質。
2. 教學內容
（1）數的概念的擴充套件：數的概念的擴充套件；有理數，實數，複數理論；
（2）自然數的序數理論；
（3）整數環；
（4）數域：有理域；實數域；複數域；
（5）實數的運算；實數集的性質；複數的三角形式；複數的運算。
3. 教學方法
講授法。
4. 本章重點
序數理論；整數環；實數的運算；複數的運算。
5. 本章難點
序數理論。
第二章解析式
1. 教學目標
（1）了解解析式的概念及其分類；
（2）了解多項式概念，掌握待定係數法和多項式的因式分解方法；
（3）了解分式的概念和定理；掌握分式恒等變形；
（4）掌握根式的運算和變形；
（5）掌握不等式的基本性質、解法和證明；
（6）熟悉幾個著名的不等式。
2. 教學內容
（1）解析式的基本概念，解析式的恒等變形；
（2）多項式：多項式的恒等定理；
（3）分式：分式恒等變形；
（4）實數域上的根式：根式的化簡和計算；
（5）不等式：解不等式（組）；不等式的證明；幾個著名的不等式。
3. 教學方法
講授法。
4. 本章重點
待定係數法；因式分解方法；分式恒等變形；根式的化簡和計算；不等式的證明；著名的不等式。
5. 本章難點
不等式的證明。
第三章方程與函式
1. 教學目標
（1）掌握各種代數方程中的同解理論（弄清增、失根原因及檢驗方法）及基本解法；
（2）掌握特殊的高次方程的解法；
（3）掌握簡單的分式方程、無理方程和超越方程的解法；
（4）了解函式概念的發展與幾種定義方式；
（5）掌握初等函式的基本性質。
2. 教學內容
（1）方程與方程組的概念及分類；
（2）方程與方程組的同解性：一元n次方程的根的有關性質；一元三次和四次方程的解法；倒數方程的解法；
（3）整式方程、分式方程、無理方程和超越方程：分式方程、無理方程、超越方程的解法；
（4）方程組的解法；
（5）函式概念的概述：初等函式及其分類；初等函式圖象的作法，基本初等函式，初等超越函式超越性的證明；
（6）初等函式性質的判定。
3. 教學方法
講授法。
4. 本章重點
方程（組）通解定理；倒數方程的解法；分式方程、無理方程、超越方程的解法；方程組的解法；初等函式性質的判定。
5. 本章難點
倒數方程的解法；超越方程的解法。
第四章數列
1. 教學目標
（1）掌握求數列通項的方法；
（2）熟練掌握等差與等比數列的綜合題；
（3）了解高階等差數列、斐波那契數列、分群數列；
（4）熟練掌握數學歸納法的各種形式的應用；
（6）了解數列的母函式。
2. 教學內容
（1）數列概述；
（2）等差數列與等比數列；
（3）幾種特殊的數列：k階差分數列、簡單遞推數列、數列求和；
（4）數學歸納法；
（5）數列的母函式。
3. 教學方法
講授法。
4. 本章重點
等差數列與等比數列；數學歸納法。
5. 本章難點
幾種特殊的數列。
第五章排列與組合
1. 教學目標
（1）理解加法和乘法兩個基本的計數原理；
（2）掌握無重排列、可重複排列、圓排列；無重組合、相異元素的重複組合的計算公式；
（3）熟練應用容斥原理解題。
2. 教學內容
（1）加法原理與乘法原理；
（2）排列：無重排列、可重複排列、圓排列；
（3）組合：無重組合、相異元素的重複組合；
（4）容斥原理。
3. 教學方法
講授法。
4. 本章重點
加法原理與乘法原理；容斥原理。
5. 本章難點
圓排列第六章演算法
1. 教學目標
（1）了解演算法的概念；
（2）掌握程式的基本結構；
（3）掌握演算法設計的基本方法；
（4）了解演算法思想在高中數學課程中的地位，掌握其教學方法。
2. 教學內容
（1）演算法概念；
（2）程式的基本結構；
（3）演算法設計的基本方法；
（4）演算法思想在高中數學課程中的地位及其教學。
3. 教學方法
講授法。
4. 本章重點
演算法設計的基本方法。
5. 本章難點
演算法思想在高中數學課程中的教學。
第七章平面幾何問題與證明
1. 教學目標
（1）了解命題的意義和結構；
（2）掌握幾何推理與證明的方法（綜合法與分析法、直接證法與間接證法）；
（3）熟練掌握證幾何量的相等關係、度量關係、不等關係、位置關係、結合關係的方法和技巧；
（4）熟悉並運用幾個著名定理：梅涅勞斯定理、錫瓦定理、西姆松定理。
2. 教學內容
（1）幾何邏輯；
（2）幾何證題的推理方法；
（3）幾何證題。
3. 教學方法
講授法。
4. 本章重點
幾何推理與證明的方法、 梅涅勞斯定理、錫瓦定理、西姆松定理。
5. 本章難點
梅涅勞斯定理、錫瓦定理、西姆松定理。
第八章初等幾何變換
1. 教學目標
（1）了解各種變換的意義；
（2）理解平移變換、旋轉變換、軸反射變換的性質，掌握其在幾何證明中的應用；
（3）理解位似變換和相似變換的性質，掌握其在幾何證明中的應用。
2. 教學內容
（1）初等變換：運動，平移，旋轉，軸反射和軸對稱反射；
（2）圖形的相等或合同；
（3）合同變換；
（4）位似和相似變換。
3. 教學方法
講授法。
4. 本章重點
合同變換、位似變換、相似變換的性質。
5. 本章難點
合同變換、位似變換、相似變換的應用。
第九章幾何軌跡
1. 教學目標
（1）理解幾何軌跡和圖形的概念；
（2）掌握幾何軌跡的證明方法、掌握常用的幾個軌跡命題；
（3）掌握**幾何軌跡的方法。
2. 教學內容
（1）幾何軌跡與幾何圖形；
（2）幾何軌跡的基本問題：三種軌跡命題的分類及其解法；
（3）幾何軌跡的探求，軌跡命題兩面性的證明。
3. 教學方法
講授法。
4. 本章重點
幾何軌跡的探求方法。
5. 本章難點
軌跡命題兩面性的證明。
第十章幾何作圖問題
1. 教學目標
（1）掌握作圖的基本知識和常用的方法幾何作圖的基本方法（軌跡交點法，三角形奠基法，幾何變換法）。
2. 教學內容
（1）基本作圖問題：尺規作圖，定位作圖和不定位作圖；
（2）幾何作圖的基本方法：軌跡交點法，三角形奠基法，幾何變換法。
3. 教學方法
講授法。
4. 本章重點
幾何作圖的基本方法。
5. 本章難點
幾何變換法。
第十一章立體幾何
1. 教學目標
（1）熟練掌握空間幾何量的位置和度量關係的證明。
2. 教學內容
（1）空間幾何體的型別介紹；
（2）空間幾何量的位置關係；
（3）空間幾何量的度量關係。
3. 教學方法
講授法。
4. 本章重點
空間幾何量的位置和度量關係。
5. 本章難點
空間幾何量的度量關係。
五、成績考核
1. 考核方式
考試2. 考核要求
考試以閉卷形式進行，考試佔80%，平時作業和課堂考勤佔20%。
六、教材和主要參考書目
1. 教材
（1）葉立軍編著，《初等數學研究》（第一版），華東師範大學出版社，2023年。
2. 主要參考書
（1）餘元希、田萬海、毛巨集德編著，《初等代數教程》，高等教育出版社，2023年。
（2）李長明、周煥山編著，《初等數學研究》，高等教育出版社，2023年。
（3）張奠宙、張廣祥編著，《中學代數研究》，高等教育出版社，2023年。
（4）張奠宙、沈文選編著，《中學幾何研究》，復旦大學出版社，2023年。
（5）甘志國編著，《初等數學研究》，哈爾濱工業大學出版社，2023年。
（6）梁紹鴻編著， 《初等數學複習及研究》（平面幾何），哈爾濱工業大學出版社，2023年。
初等數學解題研究 1
第二章數學思想方法 第一節猜證結合思想 1 授課內容 1 數學思想 數學方法及數學思想方法 2 五種基本的數學思想系統及形成 3 數學思想與數學問題解決 4 猜證結合思想 1.1基本觀點及解題策略 1.2證明推理與基本方法 1 綜合法與分析法。重難點 1 猜證結合思想 1.1基本觀點及解題策略 1....
初等數學知識點補充
1.公約數和最大公約數 幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數 其中最大的乙個，叫做這幾個數的最大公約數。例如 12的約數有 1，2，3，4，6，12 18的約數有 1，2，3，6，9，18。12和18的公約數有 1，2，3，6.其中6是12和18的最大公約數，記作 12，18 6。2.公倍數和最小...
初等數學知識點彙總
一 絕對值 1 非負性 即 a 0，任何實數a的絕對值非負。歸納 所有非負性的變數 1 正的偶數次方 根式 2 負的偶數次方 根式 3 指數函式 ax a 0且a 1 0 考點 若干個具有非負性質的數之和等於零時，則每個非負數必然為零。2 三角不等式，即 a b a b a b 左邊等號成立的條件 ...