第二章數學思想方法
第一節猜證結合思想（1）
授課內容：
1、數學思想、數學方法及數學思想方法；
2、五種基本的數學思想系統及形成；
3、數學思想與數學問題解決
4、猜證結合思想：1.1基本觀點及解題策略；1.2證明推理與基本方法；(1)綜合法與分析法。
重難點：1、猜證結合思想：1.1基本觀點及解題策略；1.2證明推理與基本方法；（1）綜合法與分析法。
講授方法和手段、講授、討論，邊講邊練相結合。
一、基本概念：
1、數學思想：是數學的基本觀點，是對數學概念，原理、方法、發現法則的本質的認識。
對於解題而言，數學思想就是解題策略，它能溝通問題與知識及方法間的聯絡，調節解題，是解題的指導思想，屬於策略性知識。
2、數學方法：是為了解決問題而採用的手段，步驟和程式，屬於過程性知識。
由於數學思想常常表現為數學方法的形成（即以數學方法的形式表現出來），所以通常把二者稱為：數學思想方法。
3、五種基本的數學思想（中學數學思想）：
在數學的發展史上，形成了許多重要的數學思想，如：公理化思想；符號化思想，極限思想，固本思想等，但在中學主要學習下面五種數學思想：
中學五中主要數學思想：1、猜證結合思想；2、分類與分步思想；3、化歸思想；4、數形結合思想；5、函式與議程思想。
我們學習五種數學思想的目標是：在頭腦中主動的建構「五種數學思想系統，使自己的數學思想方法達到「系統化」和「明確化」。
二、第一節猜證結合思想
1、推理的兩種形式：
（1）似真推理：歸納人推理與模擬推理叫似真推理。
歸納推理：由個別的、特殊的結論，通過觀察、實驗分析，比較等手段，概括出一般性的結論。這種推理叫∽。
模擬推理：由特殊到特殊或由一般到一般的推理叫模擬推理。
由歸納推理或模擬推理得到的結論不一定正確。∴叫似真推理。
但，似真推理是創造性的邏輯推理。
（2）證明推理：演繹推理叫證明推理，即：由一般原理推出個別的，特殊的結論的推理方法。證明推理所得出的結論都是正確的。
總結上面內容我們得出：注兩種推理：
（1）似真推理（數學猜想）：
（2）證明推理：演繹：一般到特殊
2、猜證結合思想
2.1 基本觀點與解題策略
（1）數學猜想：似真推理就叫數學猜想。
我們的推理應該結合猜想與證明兩種策略同時進行。靠猜想去發現，靠證明去反駁或證實發現。這就是所謂的猜證結合思想。
（2）猜證結合思想：在問題解決時，要把猜想與證明兩種策略綜合運用，靠猜想去發現，靠證明去反駁或證實發現，使之互補優缺，這種思想叫猜證結合思想。
下面用幾個例子來說明猜證結合思想的應用。
例：橢圓的離心率，a是左頂點，f是右焦點，b是短軸的乙個端點，則∠abf
（a）30°（b）60°（c）90°（d）120°
解：應用猜證結合的思想：考察極端，在四個
選中，90°是乙個極端情形，先猜想∠abf=90°
（於是只須證明：即可）。
∵.（注：橢圓）
∴∠abf=90°，選c
本題目如果用「證明方法」計算結果，是很麻煩的：
解：在△abf中，由餘弦定理得：
∴.∴.∴選c
顯然用「證明」的方法做，計算量大，且思路容易受阻。
而「猜證結合」則思路清晰，計算量小。
例：定義在（－∞,+∞）上的偶函式f(x)滿足：
，且 .
（1）f(x)是週期數函式；（2）f(x)的圖象關於直線x=1對稱；（3）f(x)在[0,1]上是增函式；（4）f(x)在[1,2]上是減函式；（5）f(x)=f(0).
解：（考慮模擬推理：在我們學過的偶函式中，有那些函式滿足題目的條件：）
把f(x)模擬成cosx，把「1」模擬成「」 ，顯然函式滿足題目的全部已知：在[－π,0]增，且
而余弦函式：
是以t=2π的週期函式滿足
關於直線x=π對稱滿足
在[－a，π]是增函式不滿足
在[π，2π]是減函式不滿足
在滿足∴通過模擬①②⑤對.
例：已知（n=1,2…），求數列的通項公式。
分析：用「猜證結合」證明.
解：當時，； 當時，；
當時， …… 猜想：.（第一步完成，下面用數學歸納法證明）
證明：當時成立；假設當時成立，當時.
3 證明推理與基本方法
證明推理就是演繹推理，即由一般推出特殊，所以證明推理的方法統稱為演繹法。
本節我們要弄清證明推理的三個問題：（1）證明的意義和要素；（2）證明的規則；（3）有幾種基本的證明方法。
3.1證明的意義和要素：數學證明就是用一些真命題來確定某個命題的真假性的思維形式（或推理過程）。（這就是證明的意義）
從結構上看：數學證明有三個要素：
（1）論題（要確定真假性的那個命題）；
（2）論據（被用來作為證明的充足理由，它包括題目的已知，公式、定理及其他真命題）；
（3）論證，論證不但要符合邏輯（注：論證過程要符合邏輯的推理過程，而邏輯規律有四條：
邏輯規律有四條：（）同一律：a是a（即：
每乙個概念在同一時間和同一關係下，應該是確定不變的，即：在同一討論過程中，每個概念都應當按照同一的意義來使用，而不能忽而這樣，忽而那樣）。
（）矛盾律：a不是非a（在推理或討論的過程中，在同一時間，同一關係下，不能對同一物件作出兩個相反的論斷）。
（）排中律：或a，或者非a（在同一討論過程中，a和非a有且僅有乙個成立，不能有第三種情形出現）
（）充足理由律：因為有b，所以有a，（即由）（b表示用來確定a真的乙個或幾個判斷）；
3.2 數學證明的規則：數學證明還要符合下面三條規則。
（1）論題要明確； （2）論據要真實；（3）論據不能靠論題來證明。（注：論題的真實性是靠論據來證明的，如果論據的真實性又要靠論題來證明，那麼實際上什麼也沒有證明，違反這條規則的邏輯錯誤，叫做迴圈論證。
）討論：下面證明錯誤在**：
例5：在rt△abc中，c=90°，求證
證明：∵ 又∵
∴注：這個證明是錯誤的，∵證明過程中的證據是，論題是：，而證據是由論題推出的。因此在證明：時不能以為證據來證明。
3.3 有幾種最常用的證明方法：
（1）綜合法與分析法
綜合法：由問題的已知或已知的真命題出發，一步一步推出問題的結果的證明方法叫∽。（執因導果）
例1：已知a、b∈r+，且a≠b，求證a3+b3＞a2b+ab2
證明（綜合法）：a、b∈r+，且a≠b，∴，∴， ∴（a+b）（a－b）2＞0，∴（a2－b2）（a－b）＞0，∴a3+b3－a2b－ab2＞0，∴a3+b3＞a2b+ab2.
分析法：由問題的論證結論出發，步步尋求結果成立的充分條件，直至這個充分條件已經具備，至此問題獲解，（執果索因）（或稱倒溯法）
例：證明：（1）
證明（分析法）：.∴、
要使，只要
只要：只要：
只要：，即：
顯然成立. 所以原不等式成立.
注：應用分析法時，必須「下一步是上一步的充分條件」，即由「下一步」能推出「上一步」。
分析法是「執果索因」，這有利於尋找證題思路；而綜合法是「執因索果」，其優點是：書寫證明過程清晰簡潔.因此常把分析法與綜合法結合起來應用：
用分析法尋找證題思路；用綜合法書寫證明過程.
例：若，證明：.
分析（用分析法尋找證題思路）
要證結論成立，但事實上這三個不等式不可能成立，看第乙個不等式：把固定，而沒有限制可以無限增大，因此不成立.此思路錯誤.
考慮證明：，（用分析法尋找此不等式的證題思路）：
要證最後乙個不等式顯然成立，到此證題思路就完全清楚了. （用綜合法書寫證題過程）：
證明：因為，所以：
，所以，所以，
所以，所以，所以
. 同理，三式相加可得原不等式成立.
分析綜合法：把分析法和綜合法同時使用的證題方法叫分析綜合法.
例. 在中，分別是三個內角的三條對邊.證明：若成等差數列，則也成成等差數列.
分析：應用分析綜合法：
解. 由成等差數列得，（把「邊換成角」：）（結合所證結論中是半形，應用和差化積，化為半形）
，(上面推出的最後乙個等式，而無法再進行下去了，下面再用分析法尋找證題思路)，
要證：也成成等差數列，
只須證明： ,
只須證: ,
即:只須: , 此等式成立.
作業：p157：1、2
第一節猜證結合思想（2）
授課內容：1、（1、4）比較法；（1）疊合比較法；（2）割法，補法和比法；（3）作差法，作比較，取函式法。
重點：1、疊合比較；
2、切、補法和比較
3、作差法，作比法，取函式法
講授方法：講授，討論，邊講邊練。
1、比較法：比較是推理的基本方法，包括模擬和對比。下面討論的比較法都是證明推理的比較法（即證明方法）。
（1）疊合比較法：比較兩個圖形，或乙個圖形的不同部分的形狀和位置的證題方法叫∽。疊合比較法包括用「全等或相似」的知識的證明方法.
例1：求證托勒密定理：設凸四邊形abcd內接於乙個圓，則
ab cd+adbc=acbd.
注：用全等三角形或相似三角形的方法來證明題目的方法，也是疊合比較法。
解：∵本題涉及到線段的積，∴考慮相似三角形的知識來證明：
在對面線bd上取一點e，使
∠bae=∠cad
則△abe∽△acd（∵∠1=∠2）
(比較要證明的結論知識，只須證明
adbc=acde，∵兩式相加就是題目的結論，又∵adbc=acde，∴只須證明△abc∽△aed即可)
∵∠bca=∠bda，∠bae+∠eac=∠eac+∠cad
即：∠bac=∠ead△abc∽△aed
∴adbc=acde ∴abcd+adbc=acbd
評注：遇到線段比或線段積，常考慮相似三角形，這也是一種疊合法。
例3：三稜柱abc－a1b1c1，底面是邊長為的正三角形，側稜長為，∠a1ab=∠a1ac=45°。
（1）求證側面bb1c1c是矩形；
（2）求稜柱的側面積
分析：或能證明bb1⊥bc即可，但直接證明bb1⊥bc是不可能的，∵aa1//bb1，∴轉而考慮證明：aa1⊥bc（—？）這只需要作aa1的垂面（該垂面包含bc）即可。
證明：作bd⊥aa1於d（要證明平面bdc是aa1的垂面，只須證明bc⊥aa1），這時可以作全等疊合：證明△abd≌△adc)
初等數學研究教學大綱
elementary mathematics research 一 本大綱適用專業 數學與應用數學。二 課程性質與目的 1.課程目標 1 使學生了解初等數學的研究物件，明確初等數學在數學學科中的地位 作用以及本課程與中學數學的聯絡 2 使學生理解初等數學中的概念 原理 法則 方法等 3 使學生掌握初...
初等數學知識點補充
1.公約數和最大公約數 幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數 其中最大的乙個，叫做這幾個數的最大公約數。例如 12的約數有 1，2，3，4，6，12 18的約數有 1，2，3，6，9，18。12和18的公約數有 1，2，3，6.其中6是12和18的最大公約數，記作 12，18 6。2.公倍數和最小...
初等數學知識點彙總
一 絕對值 1 非負性 即 a 0，任何實數a的絕對值非負。歸納 所有非負性的變數 1 正的偶數次方 根式 2 負的偶數次方 根式 3 指數函式 ax a 0且a 1 0 考點 若干個具有非負性質的數之和等於零時，則每個非負數必然為零。2 三角不等式，即 a b a b a b 左邊等號成立的條件 ...