第四章方程習題詳解
1.試按函式類別，將代數方程和超越方程作進一步分類，並列出分類表。
解： 2.方程和在有理數集上是否同解？在實數集上呢？在複數集上呢？
答：在有理數集和實數集上同解，在複數集上不同解。
3.叛別下列各對方程在實數域上是否同解？為什麼？
（1）和；
解：不同解！
的解集為；而不是的解。
（2）和；
解：不同解！
的解為；而不是的解。
（3）和；
解：同解！
兩者的解同為。
（4）和；
解：不同解！
的解為，而不是的解。
（5）和；
解：同解！
兩者的解同為。
（6）和；
解：同解！
兩者的解同為。
（7）和；
解：不同解！
的解為，而不是的解。
（8）和；
解：同解！
兩者的解同為。
（9）和；
解：同解！
兩者的解同為。
（10）和。
解：不同解！
的解為；而不是的解。
4.在實數域上解下列方程：
（1）；
解：去分母並整理得
，解之得，，
經檢驗，都不是原方程的根，從而原方程無解。
（2）；
解：去分母並整理得
，解之得，，
經檢驗，不是原方程的根，故原方程的根只有。
（3）；
解：去分母並整理得
，即，經檢驗，是原方程的解。
（4）；
解：去分母並整理得
，解之得，，，
經檢驗，原方程的解為和。
（5）解：令，則方程化為
，去分母並整理得
，解之得，，
從而有，
即，解之得。
（6）。
解：令，則方程化為
，解之得，，
從而有（1），解之得，；
（2），解之得，。
經檢驗，，都是原方程的解。
5.解下列方程：
（1）；
解：去分母並整理得
，解之得，，
即或，經檢驗和均為原方程的解。
（2）；
解：原方程可化為
，從而有或，
對進行化簡得
或，從而或，
經檢驗知原方程的解為和。
（3）；
解： ，，，
，，，，
，，經驗算，是原方程的根。
（4）。
解：令，從而原方程可變形為，，
或，從而有
（1），解之得，；
（2），解之得，。
經驗算，知方程的解為，。
6.在實數域上解下列方程：
（1）；
解： ，，，
，，，，
，解之得，，
經驗算知原方程的根為。
（2）；
解： ，，，
，原方程無解。
（3）；
解： ，，或，
當時，解之得，；
當時，解之得，。
經檢驗，知是增根，而和是原方程的根。
（4）。
解： ，，，
，，解之得，此為所求。
7.解下列方程：
（1）；
解： ，，，
，解之得，或，此為所求的解。
（2）；
解： ，，，
解之得，，
即原方程的解為。
（3）；
解： ，
是原方程的解，
利用綜合除法可將原方程變為
，所求解為。
（4）解： ，
是原方程的解，
利用綜合除法可將原方程變為
，所求解為，。
8.作五次方程，使其各根分別為方程各根的倍。
解：由得代入並化簡得
，此為所求的五次方程。
9.作三次方程，使其各根分別為方程各根的倒數減。
解：令，即，代入原方程得
，去分母並整理得所求方程為
。10.設的三根為，，，作一方程使其根分別為，和。
解：由已知有
，設，從而有，從而
故所求方程為。
11.設方程的三根為，，，作一方程使其根分別為，，。
解：由已知得
，，，，
令，則，代入原方程並化簡得所求方程為
。12.設多項式能被整除，求和。
解：令，
展開上式右端後比較兩端係數得方程組
，解之得，或。
13.解下列方程：
（1）；
解：利用卡當方法求解，，得，，
由，則，從而
，故根據，知原方程的根為
，，。（2）；
解：令，即，代入原方程得
，利用卡當方法求解得原方程的根為，，
。（3）；
解：原方程可化為
，解之得，所求解為，。
（4）。
解：原方程可變形為
，解之得，所求的根為，。
14. 解下列倒數方程：
（1）；
解： 上式兩邊同時除以，則，即，
解之得，或，
解之得，原方程的根為，。
（2）；
解：原方程可化為，即，
即，解之得，或，
解之得，，
從而知原方程的解為。
（3）；
解：原方程可化為，即，
即，解之得，，
解之得，所求根為
。（4）；
解：原方程可化為，即，
即，即或，
解之得所求的解為
，。（5）；
解：原方程可變為，即，
即，即或，
解之得所求解為，。
（6）。
解：原方程可化為
，解之得所求的根為，。
15.已知，，和都是乙個四次倒數方程的根，求這個四次方程。
解：依題設有
，將上式化簡即知所求的方程為
。16.解方程：
（1）；
解：原方程可變為
，從而知所求方程的解為
。（2）；
解：原方程可變為
，從而知所求方程的解為
。（3）；
解：原方程可變為
，解之得，所求解為
。（4）。
解：原方程可化為
，解之得所求解為
。17.設是方程的乙個根，求證方程的另外兩個根是和。
證明：由已知有且，
從而知互不相等，且，，
從而知和是方程的另外兩個根。
18.解下列含有引數的方程：
（1）；
解：顯然，且，原方程可化為
，解之得，。
經驗算，它們都是原方程的解。
（2）；
解：顯然，，原方程化簡後可變為
。分別討論如下：
若，則原方程有無窮多解，它的解集為：
且；若，則原方程只有兩個解，它們分別為：
；若，則原方程只有兩個解，它們分別為：
；若，且，即，則原方程有三個解，它們分別為：
（3）；
解：令，則原方程可化為
，整理後得
，即或把、的表示式代入，得
，解之得，或；
把、的表示式代入，得
，當時，方程的解為；當時，方程的解為。
由於原方程的定義域為，從而可知：
當，原方程的解集為：；
當時，且，原方程的解集為：；
當且或時，原方程的解集為：；
當且時，原方程的解僅為。
（4）；
解：當時，方程無解；
當時，原方程可化為
，即 ，
與原方程聯立後相加，得
，上式兩邊平方並整理，得
。當時，方程無解，即原方程無解；
當且時，，方程可變為
。由於，從而分別討論如下：
當時，方程的解是，經檢驗知的原方程的解；
當時，方程的解是，經檢驗知是原方程的解；
當時，方程無實數解，即此時原方程無實數解；
當時，方程的解為，經檢驗知它不是原方程的解，即此時原方程無解。
綜合知當時，是原方程的解；當時，是原方程的解。
（5）。
解：當時，原方程可化為，解之得，；
當時，原方程的解為；
當時，原方程的解為。
19.求下列方程的整數解：
（1）；
解：顯然，是原方程的乙個解，從而知所求的整數解為。（2）；
解：顯然，是原方程的乙個解，從而知所求的整數解為。（3）；
解：顯然，是原方程的乙個解，從而知所求的整數解為。（4）。
解：顯然，是原方程的乙個解，從而知所求的整數解為。20.試將寫成兩個整數的和的形式，使其中一數為的倍數，另一數為的倍數。
解：設這兩個整數為，則有，即，
顯然，是上面這個方程的乙個解，從而知所求整數解為。21.解下列方程：
（1）；
解： ，
原方程可變為
，解之得，，
當時，有；
當時，有
原方程的解為。
（2）；
解： ，，，
解之得，。
經檢驗知是原方程的唯一解。
（3）；
解：方程的定義域為，從而有，即，
即，即，
從而有或，
當時，有；
當時，由於，從而知這個方程實數解。
綜合知方程的解為。
（4）；
解： ，，，
解之得，。
經檢驗，都是方程的解。
（5）；
解： ，
知它的定義域為或，
根據對數換底公式有，即，
解之得，（捨去），。
經檢驗知是原方程的解。
（6）。
解： ，
，即或。
當時，有，此時方程無解；
當時，有，解之得，。
從而知原方程的解為。
22.解下列方程：
（1）；
解： ，，，
，令，則，，，，
即，。（2）；
解： ，，即
，從而有，即，此時方程組的解為，這也是原方程的解；
或者，，即，即
即或者，
從而，或者，。
綜合知的方程的解為或。
（3）；
解： ，
，從而所求為。
（4）；
解：（5）；
解： ，，，
解之得，或（捨去），
從而，故所求解為。
（6）；
解： ，，，
從而，解之得，，此為所求的解。
（7）；
解：令，則，從而，，
，從而原方程可化為
，從而所求解為。
（8）。
解:設,
且,且有,從而有
,解之得,或.
經檢驗,原方程只有乙個根為.
23.設方程恒有解，求實數的範圍。
解: ,
,從而,其中.
從而知有解的條件是
,解之得,所求的範圍為.
24.解下列方程組：
（1）解： ，
，設代入上式，得
，解之得，，或。
當時，有，解之得，，；
當時，有，解之得，。
綜合知所求解為，，。
（2）解： ，
，設，代入上式，得
，解之得，，（捨去），（捨去），。
當時，有，解之得，；
當時，有，解之得，。
綜合知所求解為，。
（3）解：
，設，代入上式，得
，從而有，
解之得，，或，
從而知，。
當時，有，解之得，；
當時，有，解之得，。
綜合知所求解為，。
（4）解： ，
，令，代入上式，得
，解之得，，或。
當時，有，此時有，從而知這時方程組無解；
當時，有，解之得，。
綜合知所求解為。
（5）解： ，
，解之得，，，此為所求的解。
（6）解：
設，代入上式，得
，設，代入上式，得
，解之得，，或。
進而得，，或。
從而解之得，。
（7）（8）
（9）（10）
25.解下列方程組：
（1）解：設，則有
，解之得，和，
當時，有
解之得，；
當時，有
解之得，。
綜合知所求解為和。
（2）解：設，則有
，解之得，或。
當時，有，即；
當時，有，即。
（3）解：設，則原方程可變為
，解之得，；
，解之得，（與矛盾，捨去）。
當時，有，即，從而，即方程組的解為。
（4）解：原方程組可化為，即，
解之得，此即為所求的解。
26. 解下列方程組：
（1）解：設，從而原方程可變為
，即，解之得，或。
當時，即，解之得，；
當時，即，解之得，。
綜合知所求解為和。
（2）解：
，解之得，和，此即為所求解。
（3）解：設，從而原方程組可變為
解得，或。
當時，即，即，從而有
解之得，；
當時，即，即，從而有
解之得，。
綜合知所求解為和。
（4）解：設，則原方程組可變為
解之得，，或。
當時，原方程的解為；
當時，原方程的解為。
綜合知原方程組的解為和。
27. 解下列方程組：
（1）解: ,,
,,或,解之得,或.
（2）解: ,,
,即,代此式入原方程組化簡得
,解之得, ,此為所求的解.
（3）解:
,解之有如下四種可能:
, , ,.
解上面的四個方程可得原方程的解為:
或.（4）
解: 顯然,不能同時為零,從而由上面的方程組可得從而,即. (5)
當滿足(5)時,有
, ,
從而由得
,從而原方程化為
第四章習題
a 平均產量曲線 b 縱軸 c 橫軸d 總產量曲線 3 邊際產量曲線與平均產量曲線相交於 a.邊際產量遞增階段 b.平均產量最大時 c.平均產量最小時 d.邊際產量最大時 4 在總產量 平均產量和邊際產量的變化過程中先發生 a.邊際產量下降 b 平均產量下降 c.總產量下降 d b和c 5 一種可變...
第四章習題
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