四色問題的證明
如果你仔細留心一張世界地圖，你會發現用一種顏色對乙個國家著色，那麼一共只需要四種顏色就能保證每兩個相鄰的國家的顏色不同。這樣的著色效果能使每乙個國家都能清楚地顯示出來。但要證明這個結論確是乙個著名的世界難題，最終借助計算機才得以解決，最近人們才發現了乙個更簡單的證明。
根據尤拉創立的「拓撲學」原理，平面地圖上不管形狀多麼複雜、大小多麼不等的每塊區域都可看成乙個點。而相互間有接壤的可用連線來表示（從圖1到圖6每幅圖上方的區域圖都可用下面的關係圖來表示）。地圖上著色時只要相互有接壤的區域用的顏色不同就能分清不同區域了，也就是關係圖上每條線兩端的點不同色就行了。
下面的是湖南地圖！ 可以用四種顏色！！
從最大平面圖上看，每乙個區域（點）都是被其它若干個區域（點）所包圍。下面我們就逐一就各種包圍情況來分析需要幾種顏色。
1。乙個區域完全包圍另乙個區域的情況：這種情況相信不用畫圖大家也能明了，比如梵蒂岡處在羅馬的包圍之中，地圖上它只要用與羅馬不同的任何顏色就能分別出來，而處在中間的梵蒂岡存在與否，根本不會影響羅馬與周圍區域的著色。
2..二個區域包圍乙個區域的情況：如圖1所示，中間的區域只要用不同於外面二區域的任何顏色就可以了，而它的存在與否，也根本不會影響外圍二區域與其它區域的著色。
就是說：在整個最大平面圖中可把圖1中左邊的情況看成與右邊的一樣，下方的關係圖就是去掉了中心o點，把二邊形左右兩條邊ab合併為一條。
3..三個區域包圍乙個區域的情況：如圖2所示，中間的區域只要用不同於外面三區域的任何第四種顏色就可以了，而它的存在與否，也根本不會影響外圍三區域與其它區域的著色。
就是說：在整個最大平面圖中可把圖2中左邊的情況看成與右邊的一樣，下方的關係圖就是去掉中心o點，只剩下外面三邊形abc。
4. 四個區域包圍乙個區域的情況：如圖3所示，由於上與下區域不接壤可用同一種顏色、左與右區域也不接壤也可用同一種顏色，所以中間區域只要用第三種顏色就行了。
由於中間區域只與周圍四個區域有接壤，不與外界其它區域有接壤，所以它的存在與否，只要外圍四區域著色不變也不會影響其它區域的著色。就是說：在整個最大平面圖中可把圖3中左邊的情況看成與右邊的一樣（圖中是中間用了綠色使左右區域相連，也可以用紅色使上下區域相連），下方的關係圖就是去掉中心o點，把c點合併到b點，只剩下三個點二條線。
5. 五個區域包圍乙個區域的情況：如圖4所示，周圍五個區域中，a與c可用同一種顏色，b與e可用另一種顏色，d就必須用第三種顏色，而中心的o就需要用第四種顏色。
由於中間區域與以上幾種情況一樣只與包圍它的五個區域有接壤，它的存在與否，只要外圍五區域著色不變也不會影響其它區域的著色。就是說：在整個最大平面圖中可把圖4中左邊的情況看成與右邊一樣，下方的關係圖就是去掉中心o點，把e點合併到b點，只剩下四個點四條線。
當外圍的點增多時能否與上敘一樣處理呢？回答是肯定的。我們先來看一條公路狀的平面圖的著色（如圖5、6所示），公路起點用一整塊紅色，左右車道向下對稱的分別用綠、紅、綠、紅……一塊塊塗色。
當起點終點及左右兩邊總塊數加起來是偶數2n時，終點也是一整塊並且n是偶數也用紅色，n是奇數用綠色（圖5）。當起點終點及左右兩邊總塊數加起來是奇數2n-1時，終點左右分兩塊，其中一塊沿用上面車道著色方法用紅或綠，另一塊就要多用一種顏色藍（圖6）。中間用黃色把左右車道分隔開來，這樣圖5就需要三種顏色，圖6就需要四種顏色。
因為中間的黃色是被包圍在公路當中不與外界接觸，它的存在與否不會影響公路與外面地域的著色情況，所以可以把黃色部分去掉，去掉中間部分後左右車道就合二為一（如圖中右邊所示），圖5和圖6中右邊與外界的著色關係同左邊時仍舊一樣。下方的關係圖就是去掉中心點，通過合併，2n邊形只剩下n+1個點n條線（圖5），2n-1邊形只剩下n+1個點n+1條線（圖6）。帶下劃線的這兩個規律其實也適合上面所述的二邊形、三邊形、四邊形、五邊形……。
它們只是多邊形的幾個特例。
在最大平面圖上可以把任何乙個點當作中間點來去掉，但可能在包圍這個點的多邊形的各個頂點當中有的點之間有連線（比如第1個點與第3、5、7等點有連線，相當於在串聯電路中把一些電阻短路），這些點就不能使用同一種顏色。圖7中a與c的連線就把b點短路了，但一旦有短路現象就一定會產生比原來多邊形邊數少的多邊形，如圖7中就產生三邊形aoc包圍b點的情況，這樣可以先去掉b點，原來的多邊形也就少了乙個b點。因為邊數最少的多邊形頂點間不可能再有短路，所以只要先找到整個最大平面圖中頂點最少的多邊形進行去掉中心點（也就是連線線最少的點），再把外圍的點按圖1到圖6的規律進行合併。
把減少合併後的線和點，在最大平面中代替原來多點包圍一點的多邊形（就象初等代數中解多元一次方程的代入消元法一樣，用圖1到圖6的右面取代左面），再在新形成的整個平面圖上找出頂點最少的多邊形，再用以上同樣的方法把連線線最少的中間點去掉，把外圍的多邊形合併成幾條線和幾個點。這樣一步步的減去、合併、代替下去，任何複雜的最大平面圖到最後只剩下乙個三邊形。
在去掉中間點的過程中，很容易出現連成一串的四邊形（如圖8中的b和c都是四邊形的中心點），可先去掉b點把c與a合併，也可先去掉c點把d與b合併。從a點到d點實際上是兩個多邊形的公共邊，在去掉這些四邊形中心點的過程中，因為有著依次去掉乙個合併乙個的規律，可一次性把這些點去掉，a到d的總點數是單數，合併後只剩下a點；a到d的總點數是雙數，合併後只剩下a和d兩點。
實際的地圖中往往有沒有中心點的多邊形存在，也可用以上方法看成有中心點去掉後再把周圍合併。在以上減去、合併、代入等操作過程中一直不會使用超過四種顏色。這就完全能夠證明任何複雜的最大平面圖「四色足夠」。
組合數學
組合數學，又稱為離散數學，但有時人們也把組合數學和圖論加在一起算成是離散數學。組合數學是計算機出現以後迅速發展起來的一門數學分支。電腦科學就是演算法的科學，而計算機所處理的物件是離散的資料，所以離散物件的處理就成了電腦科學的核心，而研究離散物件的科學恰恰就是組合數學。
組合數學的發展改變了傳統數學中分析和代數佔統治地位的局面。
現代數學可以分為兩大類：一類是研究連續物件的，如分析、方程等，另一類就是研究離散物件的組合數學。組合數學不僅在基礎數學研究中具有極其重要的地位，在其它的學科中也有重要的應用，如電腦科學、編碼和密碼學、物理、化學、生物等學科中均有重要應用。
微積分和近代數學的發展為近代的工業革命奠定了基礎。而組合數學的發展則是奠定了本世紀的計算機革命的基礎。計算機之所以可以被稱為電腦，就是因為計算機被人編寫了程式，而程式就是演算法，在絕大多數情況下，計算機的演算法是針對離散的物件，而不是在作數值計算。
正是因為有了組合演算法才使人感到，計算機好像是有思維的。
組合數學不僅在軟體技術中有重要的應用價值，在企業管理，交通規劃，戰爭指揮，金融分析等領域都有重要的應用。在美國有一家用組合數學命名的公司，他們用組合數學的方法來提高企業管理的效益，這家公司辦得非常成功。此外，試驗設計也是具有很大應用價值的學科，它的數學原理就是組合設計。
用組合設計的方法解決工業界中的試驗設計問題，在美國已有專門的公司開發這方面的軟體。最近，德國一位著名組合數學家利用組合數學方法研究藥物結構，為製藥公司節省了大量的費用，引起了製藥業的關注。
四色猜想的證明
四色猜想的內容是 如果把地圖上有共同邊界的國家塗成不同顏色，那麼只需要4種顏色就足夠了。要證明四色猜想，首先需要定義一些新的概念 1 國家的表示法 點 由於該猜想的內容中不涉及與國家形狀有關的問題，而只涉及國與國之間的相鄰關係，因此任何乙個國家都用點來表示。2 相鄰與不相鄰 在敘述時，用符號 表示相...
四色猜想能夠成立的證明
作者 張爾光 科技視界 2018年第33期 摘要 本文依照 同一組的區域著同一色 的對等原理，將對四色猜想的四色區分的證明，置換為對 在相鄰區域不能搭配為同一組的原則下，能否做到將圖的區域合理搭配分為四組 的證明。筆者論證了 四色猜想的四色區分 的五種結果及其等式，創立了 設劃單元，合理搭配 的方法...
四色定理的兩種證明
同五色定理證明的歸納法 記l i,j 表示i色和j色交替出現的一條路。記g i,j 表示由著i色和j色的頂點的匯出子圖。對頂點n做歸納。1.當n 4時，顯然可四色著圖。2.假設當n k時，可四色著圖。於是當n k 1時，記圖中的乙個 5度的頂點為v。去掉v。則剩餘k個頂點，根據歸納假設，剩餘的k個頂...