1．如圖，正方形abcd和正方形a′ob′c′是全等圖形，則當正方形a′ob′c′繞正方形abcd的中心o順時針旋轉的過程中．
（1）四邊形oecf的面積如何變化．
（2）若正方形abcd的面積是4，求四邊形oecf的面積．
解：在梯形abcd中由題設易得到：
△abd是等腰三角形，且∠abd=∠cbd=∠adb=30°．
過點d作de⊥bc，則de=bd=2，be=6．
過點a作af⊥bd於f，則ab=ad=4．
故s梯形abcd=12+4．
2．如圖， abcd中，o是對角線ac的中點，ef⊥ac交cd於e，交ab於f，問四邊形afce是菱形嗎？請說明理由．
解：四邊形afce是菱形．
∵四邊形abcd是平行四邊形．
∴oa=oc，ce∥af．
∴∠eco=∠fao，∠afo=∠ceo．
∴△eoc≌△foa，∴ce=af．
而ce∥af，∴四邊形afce是平行四邊形．
又∵ef是垂直平分線，∴ae=ce．
∴四邊形afce是菱形．
3．如圖，在△abc中，∠b=∠c，d是bc的中點，de⊥ab，df⊥ac，垂足分別為e、f．求證：（1）△bde≌cdf．（2）△abc是直角三角形時，四邊形aedf是正方形．
19．證明：（1）
△bde≌△cdf．
（2）由∠a=90°，de⊥ab，df⊥ac知：
矩形aedf是正方形．
4．如圖， abcd中，e、f為對角線ac上兩點，且ae=cf，問：四邊形ebfd是平行四邊形嗎？為什麼？
解：四邊形ebfd是平行四邊形．在abcd中，鏈結bd交ac於點o，
則ob=od，oa=oc．又∵ae=cf，∴oe=of．
∴四邊形ebfd是平行四邊形．
5．如圖，矩形紙片abcd中，ab＝3 cm，bc＝4 cm．現將a，c重合，使紙片
摺疊壓平，設摺痕為ef，試求af的長和重疊部分△aef的面積．
【提示】把af取作△aef的底，af邊上的高等於ab＝3．
由摺疊過程知，ef經過矩形的對稱中心，fd＝be，ae＝ce＝af．由此可以在
△abe中使用勾股定理求ae，即求得af的長．
【答案】如圖，鏈結ac，交ef於點o，
由摺疊過程可知，oa＝oc，
∴ o點為矩形的對稱中心．e、f關於o點對稱，b、d也關於o點對稱．
∴ be＝fd，ec＝af，
由ec摺疊後與ea重合，
∴ ec＝ea．
設af＝x，則be＝fd＝ad－af＝4－x，ae＝af＝x．
在rt△abe中，由勾股定理，得
ab2＋be2＝ae2，即 32＋(4－x) 2＝x2．
解得 x＝．
∴ s△aef＝×3×＝（cm2）
故af的長為cm，△aef的面積為cm2．
6．如圖，e是矩形abcd的邊ad上一點，且be＝ed，p是對角線bd上任意一點，pf⊥be，pg⊥ad，垂足分別為f、g．求證：pf＋pg＝ab．
【提示】延長gp交bc於h，只要證ph＝pf即可，所以只要證∠pbf＝∠pbh．
【答案】∵ be＝de，
∴ ∠ebd＝∠edb．
∵ 在矩形abcd中，ad∥bc，
∴ ∠dbc＝∠adb，
∴ ∠ebd＝∠cbd．
延長gp交bc於h點．
∵ pg⊥ad，
∴ ph⊥bc．
∵ pf⊥be，p是∠ebc的平分線上．
∴ pf＝ph．
∵ 四邊形abhg中，
∠a＝∠abh＝∠bhg＝∠hga＝90°．
∴ 四邊形abhg為矩形，
∴ ab＝gh＝gp＋ph＝gp＋pf
故 pf＋pg＝ab．
7．已知：如圖，以正方形abcd的對角線為邊作菱形aefc，b在fe的延長線上．
求證：ae、af把∠bac三等分．
【提示】證出∠cae＝30°即可．
【答案】鏈結bd，交ac於點o，作eg⊥ac，垂足為g點．
∵ 四邊形aefc為菱形，
∴ ef∥ac．
∴ ge＝ob．
∵ 四邊形abcd為正方形，
∴ ob⊥ac，
∴ obge，
∵ ae＝ac，ob＝bd＝ac，
∴ eg＝ae，
∴ ∠eag＝30°．
∴ ∠bae＝15°．
在菱形aefc中，af平分∠eac，
∴ ∠eaf＝∠fac＝∠eac＝15°
∴ ∠eab＝∠fae＝∠fac．
即ae、af將∠bac三等分．
8．如圖，已知m、n兩點在正方形abcd的對角線bd上移動，∠m**為定角 ，
鏈結am、an，並延長分別交bc、cd於e、f兩點，則∠cme與∠**f在m、
n兩點移動過程，它們的和是否有變化？證明你的結論．
【提示】bd為正方形abcd的對稱軸，
∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠4，
用∠1和∠2表示∠m**以及∠emc＋∠fnc．
【答案】∵ bd為正方形abcd的對稱軸，
∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∴ ∠emc＝180°－∠1－∠3＝180°－2∠1．
同理 ∠fnc＝180°－2∠2．
∴ ∠emc＋∠fnc＝360°－2（∠1＋∠2）．
∵ ∠m**＝180°－（∠1＋∠2），
∴ ∠emc＋∠fnc總與2∠m**相等．
因此∠emc＋∠fnc始終為定角，這定角為∠m**的2倍．
9．如圖（1），ab、cd是兩條線段，m是ab的中點，s△dmc、s△dac和s△dbc分別
表示△dmc、△dac、△dbc的面積．當ab∥cd時，有
s△dmc
（1）如圖（2），若圖（1）中ab∥cd時，①式是否成立？請說明理由．
（2）如圖（3），若圖（1）中ab與cd相交於點o時，s△dmc與s△dac和s△dbc有何種相等關係？證明你的結論．
圖（1圖（2圖（3）
【提示】△dac，△dmc 和△dbc 同底cd，通過它們在cd 邊上的高的關係，來確定它們面積的關係．
【答案】（1）當ab∥cd時，①式仍成立．
分別過a、m、b作cd的垂線，ae、mn、bf的垂足分別為e、n、f．
∵ m為ab的中點，
∴ mn＝（ae＋bf）．
∴ s△dac＋s△dbc＝dc·ae＋dc·bf＝dc·（ae＋bf）＝2 s△dmc．
∴ s△dmc＝
（2）對於圖（3）有s△dmc＝．
證法一：∵ m是ab的中點，s△adm＝s△bdm，s△acm＝s△bcm，
s△dbc＝s△bdm＋s△bcm＋s△dmc
s△dac＝s△adm＋s△acm－s△dmc
①－②得：s△dbc－s△dac＝2 s△dmc
∴ s△dmc＝．
證法二：如右圖，過a作cd的平行線l，mn⊥l，垂足為n，be⊥l，垂足為e．設a、m、b到cd的距離分別h1、h0、h2．則mn＝h1＋h0，be＝h2＋h1．
∵ am＝bm，
∴ be＝2 mn．
∴ h2＋h1＝2（h1＋h0），
∴ h0＝．
∴ s△dmc＝．
10．已知：如圖，△abc中，點o是ac上邊上乙個動點，過點o作直線mn∥bc，
mn交∠bca的平分線於點e，交∠bca的外角平分線於點f．
（1）求證eo＝fo．
（2）當點o運動到何處時，四邊形aecf是矩形？證明你的結論．
【提示】（1）證明oe＝oc＝of；
（2）o點的位置首先滿足四邊形aecf是平行四邊形，然後證明它此時也是矩形．
【答案】（1）∵ ce平分∠bca，
∴ ∠bce＝∠eco．
又 mn∥bc，
∴ ∠bce＝∠ceo．
∴ ∠eco＝∠ceo．
∴ oe＝oc．
同理 oc＝of．
∴ oe＝of．
（2）當點o運動到ac邊的中點時，四邊形aecf是矩形，證明如下：
∵ oe＝of，又o是ac的中點，
即 oa＝oc，
∴ 四邊形aecf是平行四邊形．
∵ ce、cf分別平分∠bca、∠acd，且∠bca＋∠acd＝180°，
∴ ∠ecf＝∠eco＋∠ocf＝（∠bca＋∠acd）＝90°．
∴ □aecf是矩形．
2019中考數學四邊形經典證明題學生版
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