四色猜想的內容是：如果把地圖上有共同邊界的國家塗成不同顏色，那麼只需要4種顏色就足夠了。
要證明四色猜想，首先需要定義一些新的概念：
1、國家的表示法——點
由於該猜想的內容中不涉及與國家形狀有關的問題，而只涉及國與國之間的相鄰關係，因此任何乙個國家都用點來表示。
2、 相鄰與不相鄰
在敘述時，用符號「=」表示相鄰，用「#」表示不相鄰，如果用圖示法表示相鄰與不相鄰則要複雜一些，先看下圖：
(abc)
圖1在圖1（a）與（b）中，分別用了直線和曲線連線兩個國家a和b，表示國家a與b相鄰，為了簡便起見，這裡只用直線表示相鄰，圖1（c）中是已知a與b相鄰，叫你判斷c與d能否相鄰，連線cd、cd與ab相交，相交是否就是不相鄰呢？我們先看一**:
圖2圖2是把圖進行等分後的結果，從三等分開始，如果每乙份代表乙個國家，這表示等分後的所有國家相聚於一點，從四等分後的國家a 、b、 c、 d可知，如果國家之間點的接觸算是相鄰，則a與b，c與d都為相鄰，顯然這時的a與b，c與d是交叉相鄰，與圖1（c）中的情況相同,此時a與b，c與d的交點表示接觸點。若點的接觸不算相鄰，那麼連線a與b的直線可以看作一道牆，在這中間不能有任何直線通過。因此，由於c與d的連線與ab相交，據此判斷出c與d不能相鄰。
但是當相鄰用曲線進行表示，c與d卻能夠相鄰，這是否說明用直線表示相鄰有問題呢？當然不是，仔細分析就可以發現，用曲線表示相鄰同樣不能有相交的情況出現，因此，用直線表示相鄰時，適當移動c或d的位置就可以使c與d相鄰。
3、 完全相鄰
這是乙個關鍵問題，可以這麼說，沒有這一概念的證明都是偽證明，現在給出完全相鄰的定義：
在乙個面上（可以是平面也可以是曲面）給定n個國家，如果這n個國家兩相鄰，那麼我們就稱這n個國家完全相鄰。
由於1個國家沒有相鄰關係，因此上面的n要求要大於1。
如果是3個國家完全相鄰，它們的相鄰關係為：（這三個國家分別設為1、2、3）
1=2，1=3，2=3
有了以上這些概念之後，就有了證明四色猜想的基礎。
定理1：在乙個面上（可以是平面也可以是曲面）給定n個國家，如果這n個國家完全相鄰，那麼需要用n種顏色進行區分。（n>1）
證明：n個國家完全相鄰，它們的相鄰關係為：
1=2，1=3，1=4……，1=n
2=3，2=4，2=5……，2=n
3=4，3=5，3=6……，3=n
n-2=n-1，n-2=n
n-1=n
首先把n個國家都塗上不同的顏色，假定它們塗上的顏色名與國家名相同，就有了n種顏色，現在要證明的是，這n種顏色一種也不能少。可以假設第k種顏色可去掉(1=定理2：在平面上，如果存在n個國家完全相鄰，那麼n值不能大於4。
證明：在證明之前，首先需要指出的是，如果點的接觸算是相鄰，從前面圖2的等分圓中可以看出，分成的n個國家產生了完全相鄰，此時n值沒有不大於4的限制，因此這裡所說的完全相鄰中的相鄰並非指點的接觸，而是指線的接觸。
現在來證明此定理，先看n=1的情況。
當n=1時，由於沒有構成相鄰關係，因此不存在完全相鄰。
當n=2時，可以建立完全相鄰關係，用圖表示為：
當n=3時，由於相鄰關係用直線連線，如果表示國家的點在同一直線上，則兩邊的點無法用直線直接連線，因此要建立完全相鄰關係，只要使三點不在同一直線上就行了。
這裡值得注意的是，此圖只揭示了相鄰關係，以及由相鄰關係所形成的封閉的域。但它並沒有表示出這三個國家具體的形狀。比如說，由乙個國家包圍兩個國家，由兩個國家包圍乙個國家，或者三個國家中無包圍關係，這三種完全相鄰情況都可以用此圖進行說明。
而此圖也反過來說明了這三種情況都能構成完全相鄰。那麼此圖又是怎樣對這三種情況進行「說明」的呢？
先看第一種情況，由乙個國家包圍兩個國家，此時只要過點1作乙個圓，使2、3兩點在圓的內部即可，用圖表示為：
由於相鄰關係沒有說明國家的包圍關係，不過根據相鄰關係可以對國家之間所有的包圍關係一一表示出來。
由兩個國家包圍1個國家可以用下圖表示：
由1、2兩點為起始點作圓弧，使第3點在圓弧內，圓弧表示1、2兩國的形狀延伸，在考慮形狀延伸時不能出現相交。
而三個國家中無包圍關係則由相鄰關係圖上就能感知到。
另外，如果相鄰關係用曲線表示，由三點沒有在同一直線上的限制。如：
此圖與用直線表示相鄰時的圖等價，但是用曲線表示相鄰並不直觀，這也就是採用直線表示相鄰的原因。
事實上現在可以看出，n=3時的完全相鄰必須建立在n=2時的完全相鄰基礎上，即3個國家完全相鄰必須建立在2個國家完全相鄰基礎上，據此得出以下引理：
引理 n個國家的完全相鄰必須建立在n-1個國家的完全相鄰基礎上。
證明：如果n個國家中的任意n-1個國家都沒有產生完全相鄰，也就是說，在n-1個國家中至少有1個國家與其他的1個或多個國家不相鄰，這顯然與條件n個國家完全相鄰不符，故結論成立。
當n=4時，由以上引理得知，要建立完全相鄰關係就是在n=3時的完全相鄰基礎上增加乙個「點」，使這個點與n=3時的每乙個點都能進行直接連線。先給出n=3時的圖示：
從圖中可以看出，3個國家的完全相鄰形成了乙個封閉的域，這是封閉域形成的最小單位。如果第4個點在封閉的域中，與形成域的三點連線後形成完全相鄰圖示：
再看第4點在封閉域外部的情形，從前面可知，三點在同一直線上不能進行兩兩連線，因此這裡的第4點不能在三角形三邊所在的直線上，形成的完全相鄰圖示為：
此圖與前一圖其實只是3與4的交換，因此可以視為乙個圖。
另外還有一種情況：
這時連線4與3時出現了相交，因此這時4與3無法相鄰，這種情況為：
當第4點在由1、2、3點所構成的三角形任何乙個角兩邊的延長線所形成的區域內時，不能產生完全相鄰。
因此4個國家存在完全相鄰的情況只有1種：
從圖上可以看出，若把平面看成乙個域，則被4個國家完全相鄰所分割成的域共有4個，比3個國家完全相鄰的域增加了兩個，每乙個域的邊界處都與3個國家發生聯絡。
當n=5時，由於每乙個域都只能與3個國家發生聯絡，因此在每乙個域內的點最多只能連線3個點，即每乙個域內的國家最多只能與3個國家相鄰。也就是說，第5個國家至少不能與其中1個國家相鄰。
所以說，當n=5時，不能構成完全相鄰。
由於n個國家的完全相鄰必須建立在n-1個國家完全相鄰基礎上，可知大於5個的國家無法在平面上實現完全相鄰。
綜合以上結論可得：在平面上，如果存在n個國家完全相鄰，那麼n值不能大於4。
現在需要知道的問題是，如何獲得最複雜的相鄰關係？
有一種辦法是：從平面上只有乙個國家開始，每增加1個國家就讓它與盡可能多的國家相鄰，這樣就能得到最複雜的相鄰關係。
最複雜的相鄰關係可以反映出區分n個國家所需要的最少顏色數，現在就來討論這個問題。
完全相鄰顯然是最複雜的相鄰關係，由於4個國家能構成完全相鄰，因此只需從第5個國家開始分析即可。
首先給出4個國家完全相鄰的圖示：
從定理2的證明過程得知，第5個國家無論在4個域中的哪乙個域，最多只能與3個國家相鄰。實際上可以證明以下結論：
引理從第5個國家開始，構成最複雜的相鄰關係所增加的第k個國家(k>=5)最多只能與3個國家相鄰。
證明：用數學歸納法。
由於4個國家完全相鄰時分割成的任何乙個域其邊界都只有3個國家，增加的第5個國家無論放在哪乙個域中，第5個國家與邊界上3個國家的情況與定理2中討論第4個國家完全相鄰時的情況相同，因此當第5個國家與邊界上3個國家形成完全相鄰時分割成的任何乙個域其邊界都仍然只有3個國家，而未分割的域其邊界仍然只有3個國家，所以分割後形成的所有域中，其邊界當然只有3個國家。
假定k -1個國家(k>=5)構成最複雜相鄰關係時分割成的任何乙個域其邊界都只有3個國家，增加的第k個國家無論放在哪乙個域中,第k個國家與邊界上3個國家的情況與定理2中討論第4個國家完全相鄰時的情況相同，因此當第k個國家與邊界上3個國家形成完全相鄰時分割成的任何乙個域其邊界都只有3個國家。
而未分割的域其邊界仍然只有3個國家，所以分割後形成的所有域中，其邊界當然只有3個國家。
故結論成立。
由此引理可知，在構成最複雜的相鄰關係時，增加的第k個國家(k>=5)與前k -1個國家中的k-4個國家不相鄰，與其中的3個國家相鄰。
此引理也可得出，由於增加的每個國家都與這個國家所在域邊界上任何乙個國家相鄰，因此與增加的國家不相鄰的國家一定與增加的國家在不同的域內。還可以進一步得出，任何兩個不相鄰的國家都不可能在同乙個域內。由此可知，由於只有不相鄰的國家才可能出現顏色相同，因此增加的國家不可能與相同顏色的任意兩個國家同時相鄰，這顯然是因為增加的國家不可能同時存在於兩個域內。
也就是說，可以把增加的國家與相同顏色國家相鄰的情況看成增加的國家只與相同顏色中的乙個國家相鄰或不相鄰。
由於4個國家完全相鄰需要4種顏色進行區分，因此我們設有a、b、c、d四個抽屜，代表四種顏色，然後把具有對應顏色的國家放進抽屜，開始的4個國家顏色可以任意給定，假設開始的4個國家對應的顏色為a、b、c、d，即為：
a b c d
1 2 3 4
由引理可知，增加的第5個國家與前4個國家中的1個國家不相鄰，這裡設第5個國家與國家4不相鄰，而不相鄰可用相同顏色塗色，故第5個國家放在抽屜d裡，為：
a b c d
1 2 3 4
5這種情況的相鄰圖可表示為：
把增加的第6個國家放在任一域中，假設第6個國家與1、2、5相鄰，即第6個國家在1、2、5形成的域內，此時第6個國家與3、4不相鄰，可以得出第6個國家與1、2、5的顏色不同，與3、4的顏色可能相同，也可能不同。
當第6個國家的顏色與3、4中的國家4的顏色相同時，出現矛盾，因此第6個國家只能與國家3的顏色相同，為
a b c d
1 2 3 4
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