1利用羅爾定理證明柯西中值定理
利用羅爾定理來證明柯西中值定理的關鍵是如何構造乙個輔助函式，並且使其滿足羅爾定理的條件.現在我們先來看一下羅爾定理的內容及證明過程.
羅爾定理設函式在閉區間上連續，在開區間內可導，而且在區間的兩個端點處函式的值相等，即，那麼在開區間上至少存在一點,使得函式在這點的導數為零，即.
證明因為在上連續，所以肯定存在最大值與最小值，分別將它們用與表示.現在分兩種情況來討論：
(1) 如果成立，那麼函式在一定為常數，則對於一切的都有.
(2) 如果，那麼不妨假設，又因為，所以最大值與最小值至少有乙個在內的某一點處取得，從而可知是的極值點.根據條件可知在開區間內可導, 在點處可導，所以由費馬定理可推知.的情況可以用類似的方法證明.
羅爾定理的幾何意義在每一點都可導的一段連續曲線上，如果曲線的兩端高度相等，則該曲線至少存在一條水平切線.
下面證明柯西中值定理：
證明首先作乙個輔助函式
.這個函式在閉區間上顯然是連續的，而且在開區間上有導數，此外，,因此，根據羅爾定理可以找到這樣的點,使得,即
.又因為,因此，可把上式寫成,即得所證.
2 利用復合函式證明柯西中值定理
在柯西中值定理中，我們可以考慮將看成自變數,將看成自變數的函式，則將看成中間變數為,自變數為的復合函式.
達布定理在內連續且可導，
(1) 有點，，則有點，使得.
(2) 設，，則對介於與之間的數有
點介於和之間，且.
命題設函式在開區間內可導，，，
則在內嚴格單調增加（減少）.
證明根據題設可知，對於任意的，存在且有.根據達布定理知，在開區間內保號，令，那麼就是閉區間上的單調連續函式.
於是存在單調且連續的反函式，.
根據在閉區間上的連續性可知，在閉區間上存在連續的復合函式.則由引數方程的求導公式可得
所以在即內存在.從而在閉區間上滿足拉格朗日中值定理的條件，所以至少存在一點，使，得，.
中值定理的證明
第四講中值定理的證明技巧 一 考試要求 1 理解閉區間上連續函式的性質 最大值 最小值定理，有界性定理，介值定理 並會應用這些性質。2 理解並會用羅爾定理 拉格朗日中值定理 泰勒定理，了解並會用柯西中值定理。掌握這四個定理的簡單應用 經濟 3 了解定積分中值定理。二 內容提要 1 介值定理 根的存在...
中值定理的證明題
第五講中值定理的證明技巧 一 考試要求 1 理解閉區間上連續函式的性質 最大值 最小值定理，有界性定理，介值定理 並會應用這些性質。2 理解並會用羅爾定理 拉格朗日中值定理 泰勒定理 了解並會用柯西中值定理。掌握這三個定理的簡單應用 經濟 3 了解定積分中值定理。二 內容提要 1 介值定理 根的存在...
高數微分中值定理證明
1.若在上連續，在上可導，證明 使得 證 建構函式，則在上連續，在內可導，且，由羅爾中值定理知 使 即 而，故。2.設，證明 使得。證 將上等式變形得 作輔助函式，則在上連續，在內可導，由拉格朗日定理得 即 即 3.設在內有二階導數，且，有證明 在內至少存在一點，使得 證 顯然在上連續，在內可導，又...