積分第二中值定理的證明

在區間上可積，在區間上單調，那麼在上存在內點，使得：

特別的，當在區間兩端連續時，有

積分第二中值定理是乙個更為精確的分析工具，在證明這個定理之前，先介紹abel引理。

abel引理：數列和，對於任意的，有

實際上：

下面給出abel引理的乙個理解方式，便於記憶。眾所周知，積分與求和，微分與差分有許多相似之處，乙個是對連續函式而言，乙個是對離散的數列而言，只要把函式與數列的一些定理放在一起比較，就會發現異曲同工之處。那麼就來回顧一下分部積分的方法：

區間上的連續函式與，有

再看上面的abel引理，對應，對應，符號對應，對應，對應，最後你會發現上面的abel引理就對應了分部積分的這種形式。我們在計算積分的時候，適時使用分部積分會給計算帶來很多好處，同樣對於數列的處理，利用abel引理進行變換也能帶來很多好處，下面就進入正題，證明積分第二中值定理。

用表示區間上的乙個劃分，表示劃分的最大長度，接下來設非負且單調不增。將得到：，其中。用表示在區間的上確界，令，則：

因為，則，即。下面將用abel引理變換上面的式子：

令，，那麼，

分別用和來表示的在區間的上下確界，顯然有，令，由於單調不增且非負，則有：

，當，有，，不等式可寫為：

，根據的連續性，區間存在內點，使得。

如果非負且單調不減，令，則，

其中，因此，

綜合可得，當在區間上單調，積分第二中值定理可表述為：。

特別地，若在區間上單調且連續，則

這種情況可以用分部積分給出推導過程，儘管不是嚴格的證明，但是從這個過程中應該能加深對積分第二中值定理的理解。

令，可知，則，

在區間上，當單調不減時，，

，單調不增的情況同理可得。