第四講中值定理的證明技巧
一、 考試要求
1、 理解閉區間上連續函式的性質（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），並會應用這些性質。
2、 理解並會用羅爾定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解並會用柯西中值定理。掌握這四個定理的簡單應用（經濟）。
3、 了解定積分中值定理。
二、 內容提要
1、 介值定理（根的存在性定理）
（1）介值定理在閉區間上連續的函式必取得介於最大值 m 與最小值m之間的任何值.
（2）零點定理
設f(x)在[a、b]連續，且f(a)f(b)＜0，則至少存在一點,c (a、b)，使得f(c)=0
2、 羅爾定理
若函式滿足：
（1）在上連續
（2）在內可導
（3）則一定存在使得
3、 拉格朗日中值定理
若函式滿足：
（1）在上連續
（2）在內可導
則一定存在，使得
4、 柯西中值定理
若函式滿足:
（1）在上連續
（2）在內可導
（3）則至少有一點使得
5、 泰勒公式
如果函式在含有的某個開區間內具有直到階導數則當在內時可以表示為的乙個次多項式與乙個餘項之和，即
其中 (介於與之間)
在需要用到泰勒公式時，必須要搞清楚三點：
1．展開的基點；
2．展開的階數；
3．餘項的形式．
其中餘項的形式，一般在求極限時用的是帶皮亞諾餘項的泰勒公式，在證明不等式時用的是帶拉格朗日餘項的泰勒公式．
而基點和階數，要根據具體的問題來確定．
6、利用中值定理解題的技巧
（1）輔助函式的構造
微分中值定理通常用來證明一些等式、不等式及方程根的存在性。在證明方程根的存在性和不等式時，經常要構造出乙個輔助函式，輔助函式的構造方法通常有三種：找原函式法；指數因子法；常數k值法。
①、方程根的存在性
方程根的存在性，常用介值定理和羅爾定理來證明。這裡著重講解羅爾定理。下面通過例題來給出三種構造輔助函式的方法。
②、存在多個中間值的證明
有一類問題，要證明存在兩個或兩個以上的中間值，滿足一定的等式，由於用一次中值定理只能找到乙個中間值，故這類問題通常至少要用兩次中值定理才能解決。
（2）非構造性的證明
有一類證明題，在證明過程中，不需要構造輔助函式，只需對原題中的函式進行討論，稱這類問題為「非構造性的證明」。
7、利用泰勒公式解題的技巧
泰勒公式常用幹處理與高階導數相關的函式的性態研究，在解題方面，通常用於證明與中間值相聯絡的不等式以及求函式極限。
（1） 帶拉格朗日型餘項的泰勒公式
本公式常用於證明與中間值相聯的不等式，其關鍵是注意泰勒公式中展開點x0的選擇，通常選已知區間的端點、中間點或函式的極值點和導數為0的點。
這類題的特點是已知函式可導的階數比較高（二階以上），同時還有若干個已知的函式值或導數值。
（2）帶皮亞諾型餘項的泰勒公式
帶皮亞諾型的泰勒公式較常用於函式極限的計算，尤其是對常規方法不好求時的極限，泰勒公式能有意想不到的作用。解題的關鍵是展開式中項數的確定，即展開到第幾項合適。
8、 積分中值定理
若f(x)在[a、b]上連續，則至少存在一點c∈[a、b]，使得
f(x)dx=f(c)(b-a)
三、 典型題型與例題
題型一 、與連續函式相關的問題（證明存在使或方程f(x)=0有根）
例1、設在[a,b]上連續，，證明存在，使得
例2、設在[a,b]上連續、單調遞增，且，證明存在使得
例3、設在[a,b]上連續且，證明存在使得 。
例4-1、設f(x)在[0，1]上連續，在(0,1)內可導，
證明：例4、設在[a,b]上連續，證明存在使得
例5、 設f(x)在[0,1]上連續，且f(x)<1. 證明：在(0,1)內有且僅有乙個實根。
例5-1、設f(x)在[0，1]非負連續，證明
（1）存在x0∈(0,1)，使得在[0，x0]上以f(x0)為高的矩形面積，等於[x0,1]上以y=f(x)為曲邊的曲邊梯形面積；
（2）又設f(x)在(0,1)可導，且，證明（1）中的x0是惟一的。
例6、設實數滿足關係式，證明方程
，在內至少有一實根。
例7、（0234，6分）
設函式f(x),g(x)在[a,b]上連續，且g(x)>0,利用閉區間上連續函式的性質，證明存在一點使得
題型二、 驗證滿足某中值定理
例8、驗證函式，在[0，2]上滿足拉格朗日中值定理，並求滿足定理的
題型三、 證明存在, 使(n=1,2,…)
例9、設在[a,b]上可導且，證明至少存在乙個
使得例10、設在[0,3]上連續，在（0,3）內可導，且，證明存在乙個使得
例11、設在[0,2]上連續，在（0，2）內具有二階導數且，證明存在使得
題型四、 證明存在, 使
(1) 用羅爾定理
1) 原函式法:
例12、設在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，且，求證存在使得
例13-1、設f(x)、g(x)在[a,b]上連續，(a,b)內可導，f(a)=f(b)=0，
證明：（1）對於任意的λ，；
（2）例13、（0134）設f(x)在[0,1]上連續，(0,1)內可導，且
證明：在(0,1)內至少存在一點, 使
例14、 設f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，且f(a)f(b)>0,f(a) g(x)在[a,b]上連續，試證對.
*例15、 設f(x)在[0，1]上連續，在（0，1）內一階可導，且.
試證：使得.
2) 常微分方程法:
例16、設在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，且，證明存在使得
例17、設f(x)在[0,1]上連續，在(0,1)內可導，且 f(0)=0, f(1)=1,
證明：對任意實數, 使得
(2) 直接用拉格朗日或柯西中值定理
例18、設在上連續，在內可導，求證存在，使得
例19、設在上連續，在內可導，求證存在，使得
例20、設在上連續，在內可導，求證存在，使得
例21、設在上連續，在內可導，求證存在，使得
例21-1、設函式在閉區間上連續，在開區間內可導，且
。若極限存在，證明：
（1）在內；
（2）在內存在，使；
（3）在內存在與（2）中相異的點，使
。（1）因存在，故
又因（2）法一、
設用柯西中值定理，於是，使即法
二、設令在[a,b]上用羅爾定理即可。
（3）因，
在上應用拉格朗日中值定理，知使
從而由（2）的結論得
；即題型5、 含有(或更高階導數)的介值問題
例22、 設f(x)在[0,1]上二階可導，且f(0)=f(1), 試證至少存在乙個, 使
例23、（012，8分）設在上具有二階連續導數，f(0)=0
(1) 寫出f(x)的帶拉氏餘項的一階麥克勞林公式。
(2) 證明在上至少存在乙個使得
例24、 設f(x)在[－1, 1]上具有三階連續導數，且f(-1)=0, f(1)=1, f(0)=0, 證明: 在(-1,1)內存在一點，使得
題型6、 雙介值問題
例25、例1、設在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，，求證存在使得
例26、（051，12分）已知函式在[0,1]上連續，在(0,1)內可導，且
證明：（1）存在，使得
（2）存在兩個不同的點使得
題型7、 綜合題
例27-1、f(x)在[0,1]連續，(0,1)可導，f(0)=0，f(1)=1，證明：對於任意的正數m1,m2，存在x1，x2∈(0,1)，使
只需證故由介值定理，，
使下面只需證明
由拉格朗日中值定理， 使即
從而例27、（011，7分）
設函式在（-1,1）內具有二階連續導數，且，試證
（1） 對於(-1,1)內的任意,存在唯一的使得
成立（2）
例28、試證明若在[a,b]上存在二階導數，且，則存在使得
*例29、設e
證明中值定理
1利用羅爾定理證明柯西中值定理 利用羅爾定理來證明柯西中值定理的關鍵是如何構造乙個輔助函式，並且使其滿足羅爾定理的條件.現在我們先來看一下羅爾定理的內容及證明過程.羅爾定理設函式在閉區間上連續，在開區間內可導，而且在區間的兩個端點處函式的值相等，即，那麼在開區間上至少存在一點,使得函式在這點的導數為...
中值定理的證明題
第五講中值定理的證明技巧 一 考試要求 1 理解閉區間上連續函式的性質 最大值 最小值定理，有界性定理，介值定理 並會應用這些性質。2 理解並會用羅爾定理 拉格朗日中值定理 泰勒定理 了解並會用柯西中值定理。掌握這三個定理的簡單應用 經濟 3 了解定積分中值定理。二 內容提要 1 介值定理 根的存在...
微分中值定理的證明題
1.若在上連續，在上可導，證明 使得 證 建構函式，則在上連續，在內可導，且，由羅爾中值定理知 使 即 而，故。2.設，證明 使得。證 將上等式變形得 作輔助函式，則在上連續，在內可導，由拉格朗日定理得 即即 3.設在內有二階導數，且，有證明 在內至少存在一點，使得 證 顯然在上連續，在內可導，又，...