江蘇省泗陽縣李口中學沈正中
在平面幾何中，我們常常遇到各種求最大值和最小值的問題，有時它和不等式聯絡在一起，統稱最值問題。如果把最值問題和生活中的經濟問題聯絡起來，可以達到最經濟、最節約和最高效率。
在平面幾何問題中，當某幾何元素在給定條件變動時，求某幾何量（如線段的長度、圖形的面積、角的度數）的最大值或最小值問題，稱為最值問題。
最值問題的解決方法通常有兩種：
一、應用幾何性質：
1．三角形的三邊關係：兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊；
2．兩點間線段最短；
3．鏈結直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短；
4．定圓中的所有弦中，直徑最長。
二、運用代數證法：
1．運用配方法求二次三項式的最值；
2．運用一元二次方程根的判別式。
下面介紹幾例。
【題例1】①圖1所示，a、b兩點在直線l的同側，在直線l上取一點p，使pa＋pb最小。②圖2所示，a、b兩點在直線l的兩側，在直線l上取一點p，使pa－pb最大。
【解答】①圖1中，在直線l上任取一點p』，再取點a關於直線l的對稱點a』，連ap』、a』p』、a』b、bp』，則ap』＝a』p』。
在△a』bp』中，a』p』＋bp』＞a』b，當p』在a』b與直線l的交點處p點時，a』p』＋bp』＝a』b，即a』p＋bp＝a』b，此時pa＋pb最小。
②圖2中，在直線l上任取一點p』，再取點b關於直線l的對稱點b』，連ab』，並延長交l於p，連ap』、bp』、b』p』、bp，則p』b』＝p』b，pb』＝pb，所以ab』＝pa－pb。
p』a－p』b＝p』a－p』b』，在△ab』p』中，p』a－p』b』＜ab』，所以唯有p』在p點時，才有p』a－p』b』 ＝ab』，即pa－pb最大。
【題例2】如圖3所示，已知直角△aob中，直角頂點o在單位圓心上，斜邊與單位圓相切，延長ao，bo分別與單位圓交於c，d．試求四邊形abcd面積的最小值。
【解答】設⊙o與ab相切於e，有oe=1，從而
即ab≥2。
當ao=bo時，ab有最小值2．從而
所以，當ao=ob時，四邊形abcd面積的最小值為
【題例3】如圖4所示，已知在正三角形abc內(包括邊上)有兩點p，q。求證：pq≤ab。
【解答】設過p，q的直線與ab，ac分別交於p1，q1，鏈結p1c，顯然，pq≤p1q1。
因為∠aq1p1+∠p1q1c=180°，
所以∠aq1p1和∠p1q1c中至少有乙個直角或鈍角。
若∠aq1p1≥90°，則pq≤p1q1≤ap1≤ab；
若∠p1q1c≥90°，則pq≤p1q1≤p1c。
同理，∠ap1c和∠bp1c中也至少有乙個直角或鈍角，不妨設∠bp1c≥90°，則p1c≤bc=ab。
對於p，q兩點的其他位置也可作類似的討論，因此，pq≤ab。
【題例4】如圖5所示，已知p點是半圓上乙個動點，試問p在什麼位置時，pa+pb最大？
【解答】因為p點是半圓上的動點，當p近於a或b時，顯然pa+pb漸小，在極限狀況(p與a重合時)等於ab。因此，猜想p在半圓弧中點時，pa+pb取最大值。
設p為半圓弧中點，連pb，pa，延長ap到c，使pc=pa，連cb，則cb是切線。
為了證pa+pb最大，我們在半圓弧上另取一點p′，連p′a，p′b，延長ap′到c′，使p′c′=bp′，連c′b，cc′，則∠p′c′b=∠p′bc=∠pcb=45°，
所以a，b，c′，c四點共圓，故有∠cc′a=∠cba=90°，
所以在△acc′中，ac＞ac′，即pa+pb＞p′a+p′b。
【題例5】如圖6所示，已知ab是半圓的直徑，如果這個半圓是一塊鐵皮，abdc是內接半圓的梯形，試問怎樣剪這個梯形，才能使梯形abdc的周長最大？
【解答】本例是求半圓ab的內接梯形的最大周長，可設半圓半徑為r．由於ab∥cd，必有ac=bd．若設cd=2y，ac=x，那麼只須求梯形abdc的半周長u=x+y+r的最大值即可。
作de⊥ab於e，則x2=bd2=ab·be＝2r·(r-y)＝2r2-2ry，由此得
所以求u的最大值，只須求-x2+2rx+2r2最大值即可。
-x2+2rx+2r2=3r2-(x-r)2≤3r2，
上式只有當x=r時取等號，這時有
所以2y=r=x。
所以把半圓三等分，便可得到梯形兩個頂點c，d，這時，梯形的底角恰為60°和120°。
【題例6】如圖7所示，是半圓與矩形結合而成的窗戶，如果窗戶的周長為8公尺(m)，怎樣才能得出最大面積，使得窗戶透光最好？
【解答】設x表示半圓半徑，y表示矩形邊長ad，則必有
2x+2y+πx=8，即
若窗戶的最大面積為s，則
把①代入②有
即當窗戶周長一定時，窗戶下部矩形寬恰為半徑時，窗戶面積最
大。【題例7】如圖8所示，在直角△abc中，ad是斜邊上的高，m，n分別是△abd，△acd的內心，直線mn交ab，ac於k，l。求證：s△abc≥2s△akl．
【解答】鏈結am，bm，dm，an，dn，cn。因為在△abc中，∠a=90°，ad⊥bc於d，所以 ∠abd=∠dac，∠adb=∠adc=90°。
因為m，n分別是△abd和△acd的內心，所以
∠1=∠2=45°，∠3=∠4，所以△adn∽△bdm，
又因為∠mdn=90°=∠adb，所以 △mdn∽△bda，得∠bad=∠mnd。由於∠bad=∠lcd，所以∠mnd=∠lcd，故d，c，l，n四點共圓，所以∠alk=∠ndc=45°。
同理，∠akl=∠1=45°，所以ak=al．因為△akm≌△adm，
所以ak=ad=al．又又從而
所以 s△abc≥s△akl。
【題例8】如圖9所示，設△abc是邊長為6的正三角形，過頂點a引直線l，頂點b，c到l的距離設為d1，d2，求d1+d2的最大值。
【解答】延長ba到b′，使ab′=ab，連b′c，則過頂點a的直線l或者與bc相交，或者與b′c相交．以下分兩種情況討論。
(1)若l與bc相交於d，則
所以 只有當l⊥bc時，取等號。
(2)若l′與b′c相交於d′，則
所以 上式只有l′⊥b′c時，等號成立。
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