1. 如圖1，在平面直角座標系xoy中，頂點為m的拋物線y＝ax2＋bx（a＞0）經過點a和x軸正半軸上的點b，ao＝bo＝2，∠aob＝120°．
（1）求這條拋物線的表示式；
（2）鏈結om，求∠aom的大小；
（3）如果點c在x軸上，且△abc與△aom相似，求點c的座標．
圖1 2. 如圖1，已知拋物線（b是實數且b＞2）與x軸的正半軸分別交於點a、b（點a位於點b是左側），與y軸的正半軸交於點c．
（1）點b的座標為______，點c的座標為用含b的代數式表示）；
（2）請你探索在第一象限內是否存在點p，使得四邊形pcob的面積等於2b，且△pbc是以點p為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點p的座標；如果不存在，請說明理由；
（3）請你進一步探索在第一象限內是否存在點q，使得△qco、△qoa和△qab中的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點q的座標；如果不存在，請說明理由．
圖13. 如圖1，已知拋物線的方程c1： (m＞0)與x軸交於點b、c，與y軸交於點e，且點b在點c的左側．
（1）若拋物線c1過點m(2, 2)，求實數m的值；
（2）在（1）的條件下，求△bce的面積；
（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點h，使得bh＋eh最小，求出點h的座標；
（4）在第四象限內，拋物線c1上是否存在點f，使得以點b、c、f為頂點的三角形與△bce相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．
圖14. 如圖1，在rt△abc中，∠a＝90°，ab＝6，ac＝8，點d為邊bc的中點，de⊥bc交邊ac於點e，點p為射線ab上的一動點，點q為邊ac上的一動點，且∠pdq＝90°．
（1）求ed、ec的長；
（2）若bp＝2，求cq的長；
（3）記線段pq與線段de的交點為f，若△pdf為等腰三角形，求bp的長．
圖1備用圖
5. 如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c經過a(－1,0)、b(3, 0)、c(0 ,3)三點，直線l是拋物線的對稱軸．
（1）求拋物線的函式關係式；
（2）設點p是直線l上的乙個動點，當△pac的周長最小時，求點p的座標；
（3）在直線l上是否存在點m，使△mac為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點m的座標；若不存在，請說明理由．
6.如圖1，點a在x軸上，oa＝4，將線段oa繞點o順時針旋轉120°至ob的位置．
（1）求點b的座標；
（2）求經過a、o、b的拋物線的解析式；
（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點p，使得以點p、o、b為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點p的座標；若不存在，請說明理由
圖17. 如圖1，拋物線與x軸交於a、b兩點（點b在點a的右側），與y軸交於點c，鏈結bc，以bc為一邊，點o為對稱中心作菱形bdec，點p是x軸上的乙個動點，設點p的座標為(m, 0)，過點p作x軸的垂線l交拋物線於點q．
（1）求點a、b、c的座標；
（2）當點p**段ob上運動時，直線l分別交bd、bc於點m、n．試**m為何值時，四邊形cqmd是平行四邊形，此時，請判斷四邊形cqbm的形狀，並說明理由；
（3）當點p**段eb上運動時，是否存在點q，使△bdq為直角三角形，若存在，請直接寫出點q的座標；若不存在，請說明理由．
8. 如圖1，拋物線與x軸交於a、b兩點（點a在點b的左側），與y軸交於點c．
（1）求點a、b的座標；
（2）設d為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當△acd的面積等於△acb的面積時，求點d的座標；
（3）若直線l過點e(4, 0)，m為直線l上的動點，當以a、b、m為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式．
9. 如圖1，拋物線與x軸相交於a、b兩點（點a在點b的左側），與y軸相交於點c，頂點為d．
（1）直接寫出a、b、c三點的座標和拋物線的對稱軸；
（2）鏈結bc，與拋物線的對稱軸交於點e，點p為線段bc上的乙個動點，過點p作pf//de交拋物線於點f，設點p的橫座標為m．
①用含m的代數式表示線段pf的長，並求出當m為何值時，四邊形pedf為平行四邊形？
②設△bcf的面積為s，求s與m的函式關係．
圖110. 如圖1，二次函式的圖象與x軸交於a、b兩點，與y軸交於點c（0，－1），△abc的面積為．
（1）求該二次函式的關係式；
（2）過y軸上的一點m（0，m）作y軸的垂線，若該垂線與△abc的外接圓有公共點，求m的取值範圍；
（3）在該二次函式的圖象上是否存在點d，使以a、b、c、d為頂點的四邊形為直角梯形？若存在，求出點d的座標；若不存在，請說明理由．
1. （1）如圖2，過點a作ah⊥y軸，垂足為h．
在rt△aoh中，ao＝2，∠aoh＝30°，
所以ah＝1，oh＝．所以a．
因為拋物線與x軸交於o、b(2,0)兩點，
設y＝ax(x－2)，代入點a，可得圖2
所以拋物線的表示式為．
（2）由，
得拋物線的頂點m的座標為．所以．
所以∠bom＝30°．所以∠aom＝150°．
（3）由a、b(2,0)、m，
得，，．
所以∠abo＝30°，．
因此當點c在點b右側時，∠abc＝∠aom＝150°．
△abc與△aom相似，存在兩種情況：
①，當時，．此時c(4,0)．
②，當時，．此時c(8,0)
2.（1）b的座標為(b, 0)，點c的座標為(0,)．
（2）如圖2，過點p作pd⊥x軸，pe⊥y軸，垂足分別為d、e，那麼△pdb≌△pec．
因此pd＝pe．設點p的座標為(x, x)．
如圖3，聯結op．
所以s四邊形pcob＝s△pco＋s△pbo＝＝2b．
解得．所以點p的座標為()．
（3）由，得a(1, 0)，oa＝1．
①如圖4，以oa、oc為鄰邊構造矩形oaqc，那麼△oqc≌△qoa．
當，即時，△bqa∽△qoa．
所以．解得．所以符合題意的點q為()．
②如圖5，以oc為直徑的圓與直線x＝1交於點q，那麼∠oqc＝90°。
因此△ocq∽△qoa．
當時，△bqa∽△qoa．此時∠oqb＝90°．
所以c、q、b三點共線．因此，即．解得．此時q(1,4)．
3. （1）將m(2, 2)代入，得．解得m＝4．
（2）當m＝4時，．所以c(4, 0)，e(0, 2)．
所以s△bce＝．
（3）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x＝1，當h落**段ec上時，bh＋eh最小．
設對稱軸與x軸的交點為p，那麼．
因此．解得．所以點h的座標為．
（4）①如圖3，過點b作ec的平行線交拋物線於f，過點f作ff′⊥x軸於f′．
由於∠bce＝∠fbc，所以當，即時，△bce∽△fbc．
設點f的座標為，由，得．
解得x＝m＋2．所以f′(m＋2, 0)．
由，得．所以．
由，得．
整理，得0＝16．此方程無解．
②如圖4，作∠cbf＝45°交拋物線於f，過點f作ff′⊥x軸於f′，
由於∠ebc＝∠cbf，所以，即時，△bce∽△bfc．
在rt△bff′中，由ff′＝bf′，得．
解得x＝2m．所以f′．所以bf′＝2m＋2，．
由，得．解得．
綜合①、②，符合題意的m為．
4.（1）在rt△abc中， ab＝6，ac＝8，所以bc＝10．
在rt△cde中，cd＝5，所以，．
（2）如圖2，過點d作dm⊥ab，dn⊥ac，垂足分別為m、n，那麼dm、dn是
△abc的兩條中位線，dm＝4，dn＝3．
由∠pdq＝90°，∠mdn＝90°，可得∠pdm＝∠qdn．
因此△pdm∽△qdn．
所以．所以，．
①如圖3，當bp＝2，p在bm上時，pm＝1．
此時．所以．
②如圖4，當bp＝2，p在mb的延長線上時，pm＝5．
此時．所以．
（3）如圖5，如圖2，在rt△pdq中，．
在rt△abc中，．所以∠qpd＝∠c．
由∠pdq＝90°，∠cde＝90°，可得∠pdf＝∠cdq．
因此△pdf∽△cdq．
當△pdf是等腰三角形時，△cdq也是等腰三角形．
①如圖5，當cq＝cd＝5時，qn＝cq－cn＝5－4＝1（如圖3所示）．
此時．所以．
②如圖6，當qc＝qd時，由，可得．
所以qn＝cn－cq＝（如圖2所示）．
此時．所以．
③不存在dp＝df的情況．這是因為∠dfp≥∠dqp＞∠dpq（如圖5，圖6所示）．
如圖6，當△cdq是等腰三角形時，根據等角的餘角相等，可以得到△bdp也是等腰三角形，pb＝pd．在△bdp中可以直接求解．
5. （1）因為拋物線與x軸交於a(－1,0)、b(3, 0)兩點，設y＝a(x＋1)(x－3)，
代入點c(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．
所以拋物線的函式關係式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．
（2）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x＝1．
當點p落**段bc上時，pa＋pc最小，△pac的周長最小．
設拋物線的對稱軸與x軸的交點為h．
由，bo＝co，得ph＝bh＝2．
所以點p的座標為(1, 2)．
圖2（3）點m的座標為(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)．
第（3）題的解題過程是這樣的：
設點m的座標為(1,m)．
在△mac中，ac2＝10，mc2＝1＋(m－3)2，ma2＝4＋m2．
①如圖3，當ma＝mc時，ma2＝mc2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．
此時點m的座標為(1, 1)．
②如圖4，當am＝ac時，am2＝ac2．解方程4＋m2＝10，得．
此時點m的座標為(1,)或(1,)．
③如圖5，當cm＝ca時，cm2＝ca2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．
當m(1, 6)時，m、a、c三點共線，所以此時符合條件的點m的座標為(1,0)．
6. （1）如圖2，過點b作bc⊥y軸，垂足為c．
中考數學壓軸題
1 08濟寧 中，cm 長為1cm的線段在的邊上沿方向以1cm s的速度向點運動 運動前點與點重合 過分別作的垂線交直角邊於兩點，線段運動的時間為s 1 若的面積為，寫出與的函式關係式 寫出自變數的取值範圍 2 線段運動過程中，四邊形有可能成為矩形嗎？若有可能，求出此時的值 若不可能，說明理由 3 ...
中考數學壓軸題
3.如圖，在中，分別是邊的中點，點從點出發沿方向運動，過點作於，過點作交於 當點與點重合時，點停止運動 設，1 求點到的距離的長 2 求關於的函式關係式 不要求寫出自變數的取值範圍 3 是否存在點，使為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的的值 若不存在，請說明理由 例1.如圖，已知在矩形abcd...
2019挑戰中考數學壓軸題因動點產生的面積問題
因動點產生的面積問題 例1 2015年河南省中考第23題 如圖1，邊長為8的正方形abcd的兩邊在座標軸上，以點c為頂點的拋物線經過點a，點p是拋物線上a c兩點間的乙個動點 含端點 過點p作pf bc於點f 點d e的座標分別為 0,6 4,0 聯結pd pe de 1 直接寫出拋物線的解析式 2...