導數的實際應用
基礎鞏固強化
1.(文)正三稜柱體積為v，則其表面積最小時，底面邊長為( )
a. b. c. d．2
[答案] c
[解析] 設正三稜柱底面邊長為a，高為h，則體積v＝a2h，∴h＝，表面積s＝a2＋3ah＝a2＋，
由s′＝a－＝0，得a＝，故選c.
(理)在內接於半徑為r的半圓的矩形中，周長最大的矩形的邊長為( )
a.和rb. r和r
c. r和r d．以上都不對
[答案] b
[解析] 設矩形垂直於半圓直徑的邊長為x，則另一邊長為2，則l＝2x＋4 (0＜x＜r)，
l′＝2－，令l′＝0，解得x＝r.
當0＜x＜r時，l′＞0；當r＜x＜r時，l′＜0.
所以當x＝r時，l取最大值，即周長最大的矩形的邊長為r， r.
2．已知某生產廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產量x(單位：萬件)的函式關係式為y＝－x3＋81x－234，則使該生產廠家獲取最大年利潤的年產量為( )
a．13萬件 b．11萬件
c．9萬件 d．7萬件
[答案] c
[解析] ∵y＝－x3＋81x－234，
∴y′＝－x2＋81(x>0)．
令y′＝0得x＝9，令y′<0得x>9，令y′>0得0∴函式在(0,9)上單調遞增，在(9，＋∞)上單調遞減，
∴當x＝9時，函式取得最大值．故選c.
[點評] 利用導數求函式最值時，令y′＝0得到x的值，此x的值不一定是極大(小)值時，還要判定x值左右兩邊的導數的符號才能確定．
3．(文)做乙個圓柱形鍋爐，容積為v，兩個底面的材料每單位面積的**為a元，側面的材料每單位面積的**為b元，當造價最低時，鍋爐的底面直徑與高的比為( )
a. b. c. d.
[答案] c
[解析]
如圖，設圓柱的底面半徑為r，高為h，則v＝πr2h.
設造價為y，則y＝2πr2a＋2πrhb＝2πar2＋2πrb·＝2πar2＋，
∴y′＝4πar－.
令y′＝0並將v＝πr2h代入解得，＝.
(理)圓柱的表面積為s，當圓柱體積最大時，圓柱的底面半徑為( )
a. b.
c. d．3π·
[答案] c
[解析] 設圓柱底面半徑為r，高為h，
∴s＝2πr2＋2πrh，∴h＝，
又v＝πr2h＝，則v′＝，令v′＝0，
得s＝6πr2，∴h＝2r，r＝.
4．某公司生產某種產品，固定成本為20000元，每生產一單位產品，成本增加100元，已知總收益r與產量x的關係是r＝則總利潤最大時，每年生產的產品是( )
a．100 b．150
c．200 d．300
[答案] d
[解析] 由題意，總成本為c＝20000＋100x.所以總利潤為p＝r－c＝
p′＝令p′＝0，得x＝300，易知當x＝300時，總利潤最大．
5．(文)內接於半徑為r的球並且體積最大的圓錐的高為( )
a．r b．2r
c. r d. r
[答案] c
[解析] 設圓錐的高為h，底面半徑為r，則r2＝(h－r)2＋r2，∴r2＝2rh－h2，
∴v＝πr2h＝h(2rh－h2)＝πrh2－h3，
v′＝πrh－πh2，令v′＝0得h＝r.
(理)要製做乙個圓錐形的漏斗，其母線長為20cm，要使其體積最大，則高為( )
a. cm b. cm
c. cm d. cm
[答案] d
[解析] 設圓錐的高為x，則底面半徑為，
其體積為v＝πx(400－x2) (0＜x＜20)，
v′＝π(400－3x2)，令v′＝0，解得x＝.
當0＜x＜時，v′＞0；當＜x＜20時，v′＜0，
所以當x＝時，v取最大值．
6．(2012·保定模擬)定義域為r的函式f(x)滿足f(1)＝1，且f(x)的導函式f ′(x)>，則滿足2f(x)a． d．
[答案] b
[解析] 令g(x)＝2f(x)－x－1，
∵f ′(x)>，∴g′(x)＝2f ′(x)－1>0，∴g(x)為單調增函式，∵f(1)＝1，∴g(1)＝2f(1)－1－1＝0，
∴當x<1時，g(x)<0，即2f(x)7．(文)用長為18m的鋼條圍成乙個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2 1，該長方體的最大體積是________．
[答案] 3m3
[解析] 設長方體的寬為x，則長為2x，高為－3x (0v′＝－18x2＋18x，令v′＝0得，x＝0或1，
∵0∴該長方體的長、寬、高各為2m、1m、1.5m時，體積最大，最大體積vmax＝3m3.
(理)用總長為14.8m的鋼條製作乙個長方體容器的框架，如果所製作容器的底面的一邊比另一邊長0.5m，那麼容器的容積最大時，容器的高為________．
[答案] 1.2m
[解析] 設容器的短邊長為xm，
則另一邊長為(x＋0.5)m，
高為＝3.2－2x.
由3.2－2x>0和x>0，得0設容器的容積為ym3，
則有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)(0整理得y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，
∴y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，
令y′＝0，有－6x2＋4.4x＋1.6＝0，即15x2－11x－4＝0，
解得x1＝1，x2＝－(不合題意，捨去)，
∴高＝3.2－2＝1.2，容積v＝1×1.5×1.2＝1.8.
8．(文)(2011·北京模擬)若函式f(x)＝lnx－ax2－2x存在單調遞減區間，則實數a的取值範圍是________．
[答案] (－1，＋∞)
[分析] 函式f(x)存在單調減區間，就是不等式f ′(x)<0有實數解，考慮到函式的定義域為(0，＋∞)，所以本題就是求f ′(x)<0在(0，＋∞)上有實數解時a的取值範圍．
[解析] 解法1：f ′(x)＝－ax－2＝，由題意知f ′(x)<0有實數解，∵x>0，∴ax2＋2x－1>0有實數解．當a≥0時，顯然滿足；當a<0時，只要δ＝4＋4a>0，∴－1－1.
解法2：f ′(x)＝－ax－2＝，
由題意可知f ′(x)<0在(0，＋∞)內有實數解．
即1－ax2－2x<0在(0，＋∞)內有實數解．
即a>－在(0，＋∞)內有實數解．
∵x∈(0，＋∞)時，－＝(－1)2－1≥－1，∴a>－1.
(理)(2011～2012·黃岡市期末)對於三次函式y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，給出定義：設f ′(x)是函式y＝f(x)的導數，f ″(x)是f ′(x)的導數，若方程f″(x)＝0有實數解x0，則稱點(x0，f(x0))為函式y＝f(x)的「拐點」．某同學經過**發現：任何乙個三次函式都有「拐點」；任何乙個三次函式都有對稱中心，且「拐點」就是對稱中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－，請你根據這一發現，求：
(1)函式f(x)＝x3－x2＋3x－的對稱中心為________；
(2)計算f()＋f()＋f()＋f()＋…＋f
[答案] (1)(，1) (2)2013
[解析] (1)f ′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，由2x－1＝0得x＝，f()＝×()3－×()2＋3×－＝1，由拐點的定義知f(x)的拐點即對稱中心為(，1)．
(2)∴f()＋f(1－)＝f()＋f()＝2(k＝1，2，…，1007)，
∴f()＋f()＋…＋f()＝[f()＋f()]＋[f()＋f()]＋…＋[f()＋f()]＋f()＝2×1006＋1＝2013.
9．有乙個容積v一定的有鋁合金蓋的圓柱形鐵桶，已知單位面積鋁合金的**是鐵的3倍，問如何設計使總造價最小？
[分析] 桶的總造價要根據鐵與鋁合金的用量來定，由於二者單位面積的**不同，在保持鐵桶容積不變的前提下，使總造價最小．問題轉化為v一定求總造價y的最小值，選取恰當變數(圓柱高h或底半徑r)來表示y即變為函式極值問題．
[解析] 設圓柱體高為h，底面半徑為r，又設單位面積鐵的造價為m，桶總造價為y，則y＝3mπr2＋m(πr2＋2πrh)．
由於v＝πr2h，得h＝，所以y＝4mπr2＋ (r>0)．
所以，y′＝8mπr－.
令y′＝0，得r＝，此時，h＝＝4.
該函式在(0，＋∞)內連續可導，且只有乙個使函式的導數為零的點，問題中總造價的最小值顯然存在，當r＝時，y有最小值，即h r＝4時，總造價最小．
10．(文)已知球的直徑為d，求當其內接正四稜柱體積最大時，正四稜柱的高為多少？
[解析] 如右圖所示，設正四稜柱的底面邊長為x，高為h，
由於x2＋x2＋h2＝d2，
∴x2＝(d2－h2)．
∴球內接正四稜柱的體積為
v＝x2·h＝(d2h－h3)，0v′＝(d2－3h2)＝0，∴h＝d.
在(0，d)上，函式變化情況如下表：
由上表知體積最大時，球內接正四稜柱的高為d.
(理)如右圖所示，扇形aob中，半徑oa＝1，∠aob＝，在oa的延長線上有一動點c，過點c作cd與相切於點e，且與過點b所作的ob的垂線交於點d，問當點c在什麼位置時，直角梯形ocdb的面積最小．
[分析] 要求直角梯形ocdb的面積的最小值，需先求出梯形面積，可設oc＝x，進而用x表示bd，然後利用導數的方法求最小值．
[解析] 如上圖所示，過d作df⊥oa於f，可知
△oec≌△dfc，
所以oc＝cd，設oc＝x(x＞1)，
在rt△cdf中，cd2＝cf2＋df2，即x2＝(x－bd)2＋1，
所以bd＝x－，
所以梯形的面積為
s＝(bd＋oc)·ob＝(2x－)，
s′＝(2－)．
令s′＝0，解得x1＝，x2＝－(捨去)．
當x＞時，s′＞0；當1＜x＜時，s′＜0.
所以當x＝時，s取最小值．
即當oc＝時，直角梯形ocdb的面積最小.
能力拓展提公升
11.已知非零向量a、b滿足：|a|＝2|b|，若函式f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在r上有極值，設向量a、b的夾角為θ，則cosθ的取值範圍為( )
a. b.
c. d.
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