一．選擇題（共6小題）
1．定義在r上的函式y＝f（x），滿足f（4﹣x）＝f（x），（x﹣2）f′（x）＜0，若x1＜x2，且x1+x2＞4，則有（ ）
a．f（x1）＜f（x2） b．f（x1）＞f（x2）
c．f（x1）＝f（x2） d．不確定
2．定義在（1，+∞）上的函式f（x）滿足下列兩個條件：（1）對任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立； （2）當x∈（1，2]時，f（x）＝2﹣x；記函式g（x）＝f（x）﹣k（x﹣1），若函式g（x）恰有兩個零點，則實數k的取值範圍是（ ）
a．[1，2） b． c． d．
3．設函式f（x）是定義在實數集上的奇函式，在區間[﹣1，0）上是增函式，且f（x+2）＝﹣f（x），則有（ ）
a． b．
c． d．
4．已知函式f（x）＝，若函式y＝f（x）+|x﹣1|﹣kx在定義域內有且只有三個零點，則實數k的取值範圍是（ ）
a．[） b．
c．[﹣） d．[﹣]
5．設函式f（x）＝，若對任意給定的y∈（2，+∞），都存在唯一的x∈r，滿足f（f（x））＝2a2y2+ay，則正實數a的最小值是（ ）
a．2 b． c． d．4
6．已知函式f（x）＝2mx2﹣2（4﹣m）x+1，g（x）＝mx，若對於任一實數x，f（x）與g（x）至少有乙個為正數，則實數m的取值範圍是（ ）
a．（0，2） b．（0，8） c．（2，8） d．（﹣∞，0）
二．填空題（共1小題）
7．已知函式f（x）＝，若關於x的方程f（x）＝3恰有兩個互異的實數解，則實數a的取值範圍是 ．
三．解答題（共19小題）
8．已知函式f（x）＝﹣alnx（a∈r）．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若存在實數x0＝[1，e]，使得f（x0）＜0，求正實數a的取值範圍．
9．已知函式f（x）＝x2﹣（a+）x+lnx，其中a＞0．
（ⅰ）當a＝2時，求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處切線的方程；
（ⅱ）當a≠1時，求函式f（x）的單調區間；
（ⅲ）若a∈（0，），證明對任意x1，x2∈[，1]（x1≠x2），＜恆成立．
10．已知函式f（x）＝lnx﹣ax2+（2﹣a）x．
（1）若f′（1）＝﹣6，求函式f（x）在（1，f（1））處的切線；
（2）設a＞0，證明：當0＜x＜時，f（+x）＞f（﹣x）；
（3）若函式f（x）的圖象與x軸交於a，b兩點，線段ab中點的橫座標為x0，證明：f′（x0）＜0．
11．已知a≠0，函式f（x）＝|ex﹣e|+ex+ax
（1）討論f（x）的單調性
（2）若對x∈（﹣，+∞），不等式f（x）≥恆成立，求a的取值範圍
（3）已知當a＜﹣e時，函式f（x）有兩個零點x1，x2（x1＜x2），求證：f（x1x2）＞a+e
12．已知函式f（x）＝a（x﹣1）ex（a＞0），g（x）＝﹣cosx．
（1）求函式f（x）的單調區間；
（2）若對於任意的實數x1，x2∈[0，]，（其中x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|恆成立求實數a的取值範圍．
13．已知函式f（x）＝a+2lnx﹣ax（a＞0），
（1）求f（x）的最大值φ（a）；
（2）若f（x）≤0恆成立，求a的值；
（3）在（2）的條件下，設g（x）＝在（a，+∞）上的最小值為m，求證：﹣11＜f（m）＜﹣10
14．已知函式f（x）＝（x2﹣mx）ex（e為自然對數的底數）．
（ⅰ）求函式f（x）的單調區間；
（ⅱ）若m＝2，2n+1≥0，證明：關於x的不等式nf（x）+1≥ex在（﹣∞，0]上恆成立．
15．已知函式f（x）＝（其中e是自然對數的底數），g（x）＝1﹣ax2（a∈r）．
（ⅰ）求函式f（x）的極值；
（ⅱ）設h（x）＝f（x）﹣g（x），若a滿足0＜a＜且ln2a+1＞0，試判斷方程h（x）＝0的實數根個數，並說明理由．
16．已知函式f（x）＝ax2﹣lnx．
（1）求函式f（x）的單調區間；
（2）若函式f（x）有兩個零點x1，x2，求a的取值範圍，並證明：x1x2＞1．
17．己知p：實數m使得函式f（x）＝lnx（m﹣2）x2﹣x在定義域內為增函式：
q：實數m使得函式g（x）＝mx2+（m+1）x﹣5在r上存在兩個零點x1，x2，且x1＜1＜x2
（1）分別求出條件p，q中的實數m的取值範圍；
（2）甲同學認為「p是q的充分條件」，乙同學認為「p是q的必要條件」，請判斷兩位同學的說法是否正確，並說明理由．
18．已知函式f（x）＝in+cosx﹣|x|．
（ⅰ）求證：函式f（x）在[0，+∞）上單調遞減；
（ⅱ）若f（2x﹣3）+π+1+ln（2+3π2）＜0，求x的取值範圍．
19．已知函式f（x）＝lnx﹣sin（x﹣1），f′（x）為f（x）的導函式．證明：
（1）f′（x）在區間（0，2）存在唯一極小值點；
（2）f（x）有且僅有2個零點．
20．已知函式f（x）＝te2x+（t+2）ex﹣1，t∈r．
（ⅰ）當t＝﹣1時，求f（x）的單調區間與極值；
（ⅱ）當t＞0時，若函式g（x）＝f（x）﹣4ex﹣x+1在r上有唯一零點，求t的值．
21．已知函式f（x）＝ex﹣x2﹣ax+b（e為自然對數的底數）．
（ⅰ）若a≥1，判斷f（x）極值點個數；
（ⅱ）若f（x）≥f′（x）在x∈[﹣1，1]上恆成立，求a+b的取值範圍．
22．設函式f（x）＝lnx﹣a2x+2a（a∈r）
（1）若函式f（x）在上遞增，在上遞減，求實數a的值．
（2）討論f（x）在（1，+∞）上的單調性；
（3）若方程x﹣lnx﹣m＝0有兩個不等實數根x1，x2，求實數m的取值範圍，並證明x1x2＜1．
23．已知函式f（x）＝2x3﹣3（a﹣1）x2﹣6ax+a2+1．
（ⅰ）設﹣1≤a≤1，曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線在y軸上的截距為b，求b的最小值；
（ⅱ）若f（x）只有乙個零點x0，且x0＜0，求a的取值範圍．
24．設函式f（x）＝x﹣﹣alnx（a∈r，a＞0）．
（ⅰ）討論f（x）的單調性；
（ⅱ）若f（x）有兩個極值點x1和x2，記過a（x1，f（x1）），b（x2，f（x2））的直線的斜率為k．問：是否存在a，使k＝2﹣a？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．
25．已知．
（1）討論函式f（x）的單調區間；
（2）若f（x）存在極值且f（x）≥0，求實數a的取值範圍；
（3）求證：當x＞1時，．
26．已知函式f（x）＝（ax+1）ex，a∈r
（1）當a＝1時，求函式f（x）的最小值．
（2）當a＝時，對於兩個不相等的實數x1，x2，有f（x1）＝f（x2），求證：x1+x2＜2．
導數函式綜合應用參***與試題解析
一．選擇題（共6小題）
1．定義在r上的函式y＝f（x），滿足f（4﹣x）＝f（x），（x﹣2）f′（x）＜0，若x1＜x2，且x1+x2＞4，則有（ b ）
a．f（x1）＜f（x2） b．f（x1）＞f（x2）
c．f（x1）＝f（x2） d．不確定
【解答】解：由題意f（4﹣x）＝f（x），可得出函式關於x＝2對稱,又（x﹣2）f′（x）＜0，得x＞2時，導數為負，x＜2時導數為正，即函式在（﹣∞，2）上是增函式，在（2，+∞）上是減函式
又x1＜x2，且x1+x2＞4，下進行討論若2＜x1＜x2，顯然有f（x1）＞f（x2）
若x1＜2＜x2，有x1+x2＞4可得x1＞4﹣x2，故有f（x1）＞f（4﹣x2）＝f（x2）
綜上討論知，在所給的題設條件下總有f（x1）＞f（x2）
2．定義在（1，+∞）上的函式f（x）滿足下列兩個條件：（1）對任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立； （2）當x∈（1，2]時，f（x）＝2﹣x；記函式g（x）＝f（x）﹣k（x﹣1），若函式g（x）恰有兩個零點，則實數k的取值範圍是（ c ）
a．[1，2） b． c． d．
【解答】解：因為對任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立，且當x∈（1，2]時，f（x）＝2﹣x
所以f（x）＝﹣x+2b，x∈（b，2b]．由題意得f（x）＝k（x﹣1）的函式圖象是過定點（1，0）的直線，
如圖所示紅色的直線與線段ab相交即可（可以與b點重合但不能與a點重合）所以可得k的範圍為
3．設函式f（x）是定義在實數集上的奇函式，在區間[﹣1，0）上是增函式，且f（x+2）＝﹣f（x），則有（ a ）
a．b． c．d．
【解答】解：根據題意，函式f（x）滿足f（x+2）＝﹣f（x），當x＝﹣時，有f（）＝﹣f（﹣）＝f（），
函式f（x）是定義在實數集上的奇函式，在區間[﹣1，0）上是增函式，則f（x）在區間（0，1]上是增函式，
則有f（）＜f（）＜f（1），則有f（）＜f（）＜f（1），
4．已知函式f（x）＝，若函式y＝f（x）+|x﹣1|﹣kx在定義域內有且只有三個零點，則實數k的取值範圍是（ a ）
a．[）b． c．[﹣）d．[﹣]
【解答】解：函式y＝f（x）+|x﹣1|﹣kx在定義域內有且只有三個零點，即為方程f（x）+|x﹣1|＝kx在[﹣3，+∞）內有3個不等實根，可令g（x）＝f（x）+|x﹣1|＝，作出g（x）的圖象（如右），直線y＝kx，當k＝0時，y＝g（x）和y＝0顯然有3個交點，符合題意；
當直線y＝kx與y＝x2+3x+1相切，可得x2+（3﹣k）x+1＝0，△＝（3﹣k）2﹣4＝0，解得k＝1（k＝5捨去），
由k＝1時，y＝g（x）和y＝x有兩個交點，可得0≤k＜1時，符合題意；
當k＜0時，且直線y＝kx經過點（﹣3，1）時，直線y＝kx與y＝g（x）有3個交點，此時k＝﹣，
由y＝kx繞著原點旋轉，可得﹣≤k＜0，綜上可得，k的範圍是[﹣，1）．
5．設函式f（x）＝，若對任意給定的y∈（2，+∞），都存在唯一的x∈r，滿足f（f（x））＝2a2y2+ay，則正實數a的最小值是（ c ）
a．2 b． c． d．4
【解答】解：函式f（x）＝的值域為r．∵f（x）＝2x，（x≤0）的值域為（0，1]；f（x）＝log2x，（x＞0）的值域為r．∴f（x）的值域為（0，1]上有兩個解，要想f（f（x））＝2a2y2+ay在y∈（2，+∞）上只有唯一的x∈r滿足，必有f（f（x））＞1 （2a2y2+ay＞0）．∴f（x）＞2，即log2x＞2，解得：x＞4．
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