函式、導數及其應用
【知識導讀】
1．對映：注意: ①第乙個集合中的元素必須有象；②一對一或多對一.
2．函式值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判別式法 ；④利用函式單調性 ；⑤換元法 ；
⑥利用均值不等式； ⑦利用數形結合或幾何意義（斜率、距離、
絕對值的意義等）；⑧利用函式有界性（、、等）；⑨平方法； 導數法
3．復合函式的有關問題:
（1）復合函式定義域求法：
① 若f(x)的定義域為［a，b］,則復合函式f[g(x)]的定義域由不等式a ≤ g(x) ≤ b解出
② 若f[g(x)]的定義域為[a,b],求 f(x)的定義域，相當於x∈[a,b]時，求g(x)的值域.
（2）復合函式單調性的判定：
①首先將原函式分解為基本函式：內函式與外函式
②分別研究內、外函式在各自定義域內的單調性
③根據「同性則增，異性則減」來判斷原函式在其定義域內的單調性.
4．分段函式：值域（最值）、單調性、圖象等問題，先分段解決，再下結論。
5．函式的奇偶性:
⑴函式的定義域關於原點對稱是函式具有奇偶性的必要條件
⑵是奇函式；是偶函式.
⑶奇函式在0處有定義，則
⑷在關於原點對稱的單調區間內：奇函式有相同的單調性，偶函式有相反的單調性
⑸若所給函式的解析式較為複雜，應先等價變形，再判斷其奇偶性
6．函式的單調性:
⑴單調性的定義：
①在區間上是增函式當時有；
②在區間上是減函式當時有；
⑵單調性的判定：定義法：一般要將式子化為幾個因式作積或作商的形式，以利於判斷符號；②導數法（見導數部分）；③復合函式法；④影象法注：證明單調性主要用定義法和導數法。
7．函式的週期性：
(1)週期性的定義：對定義域內的任意，若有（其中為非零常數），則稱函式為週期函式，為它的乙個週期。所有正週期中最小的稱為函式的最小正週期。
如沒有特別說明，遇到的週期都指最小正週期。
（2）三角函式的週期
(3)與週期有關的結論：
或的週期為
8．基本初等函式的影象與性質：
㈠.⑴指數函式：；⑵對數函式:；
⑶冪函式： （；⑷正弦函式:；⑸余弦函式： ；
（6）正切函式：；⑺一元二次函式：（a≠0）；⑻其它常用函式：
1 正比例函式：；②反比例函式：；③函式
㈡.⑴分數指數冪：；（以上，且）.
③； ④.
⑶.對數的換底公式:.對數恒等式:.
9．二次函式：
⑴解析式：①一般式：；
②頂點式：，為頂點；
③零點式： （a≠0）.
⑵二次函式問題解決需考慮的因素：
①開口方向；②對稱軸；③端點值；④與座標軸交點；⑤判別式；⑥兩根符號。
二次函式的圖象的對稱軸方程是，頂點座標是。
10．函式圖象：
⑴圖象作法 ：①描點法 （特別注意三角函式的五點作圖）②圖象變換法 ③導數法
⑵圖象變換：
1 平移變換：ⅰ)，———左「+」右「－」；
上「+」下「－」；
2 對稱變換：ⅰ) ；ⅱ) ；
ⅲ) ； ⅳ) ；
3 翻摺變換：
ⅰ)———（去左翻右）y軸右不動，右向左翻（在左側圖象去掉）；
ⅱ)———（留上翻下）x軸上不動，下向上翻（||在下面無圖象）；
11．函式圖象（曲線）對稱性的證明：
(1)證明函式影象的對稱性，即證明影象上任意點關於對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在影象上；
（2）證明函式與圖象的對稱性，即證明圖象上任意點關於對稱中心（對稱軸）的對稱點在的圖象上，反之亦然。
注：①曲線c1:f(x,y)=0關於原點（0,0）的對稱曲線c2方程為：f(－x,－y)=0;
曲線c1:f(x,y)=0關於直線x=0的對稱曲線c2方程為：f(－x, y)=0;
曲線c1:f(x,y)=0關於直線y=0的對稱曲線c2方程為：f(x, －y)=0;
曲線c1:f(x,y)=0關於直線y=x的對稱曲線c2方程為：f(y, x)=0
②f(a+x)=f(b－x) （x∈r）y=f(x)影象關於直線x=對稱；
特別地：f(a+x)=f(a－x) （x∈r）y=f(x)影象關於直線x=a對稱.
③的圖象關於點對稱.
特別地：的圖象關於點對稱.
函式與函式的圖象關於直線對稱;
函式與函式的圖象關於直線對稱。
12．函式零點的求法：
⑴直接法（求的根）；⑵圖象法；⑶二分法.
(4)零點定理：若y=f(x)在[a,b]上滿足f(a)·f(b)<0 , 則y=f(x)在（a,b)內至少有乙個零點。
13．導數：
⑴導數定義：f(x)在點x0處的導數記作
⑵常見函式的導數公式
⑶導數的四則運算法則：
⑷（理科）復合函式的導數：
⑸導數的應用
①利用導數求切線：注意：ⅰ)所給點是切點嗎？ⅱ)所求的是「在」還是「過」該點的切線？
②利用導數判斷函式單調性：）是增函式；）為減函式；）為常數；
③利用導數求極值：ⅰ）求導數；ⅱ）求方程的根；ⅲ）列表得極值。
4 利用導數求最大值與最小值：ⅰ）求極值；ⅱ）求區間端點值（如果有）；ⅲ）比較得最值。
函式【基礎練習】
1．設有函式組其中表示同乙個函式的有
2.設的定義域為,則的定義域為
3. 函式的定義域為值域為
單調遞增區間為
4．若，，則（ d ）
a． b． c． d．
5. 已知函式f(x)和g(x)的圖象關於原點對稱，且f(x)＝x2＋2x．則函式g(x)的解析式為_______.
6.在上定義的函式是偶函式，且，若在區間是減函式，則函式（ b ）
a.在區間上是增函式，區間上是增函式
b.在區間上是增函式，區間上是減函式
c.在區間上是減函式，區間上是增函式
d.在區間上是減函式，區間上是減函式
6. 已知函式是奇函式，則實數a的取值．
7．函式的圖象恆過定點，則定點的座標是．
【範例解析】
【例1】設是定義在r上的偶函式，在區間（－∞，0）上單調遞增，且滿足, 求實數a的取值範圍.
解：∵為r上的偶函式
∵在區間上單調遞增，而偶函式圖象關於y軸對稱，
∴在區間（0，+∞）上單調遞減，
∴實數a的取值範圍是（－4，1）.
【例2】 定義在r上的函式y=f(x)，f(0)≠0，當x>0時，f(x)>1，且對任意的a、b∈r，有f(a+b)=f(a)f(b)，
（1） 求證：f(0)=1；
（2） 求證：對任意的x∈r，恒有f(x)>0；
（3）證明：f(x)是r上的增函式；
（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值範圍。
【解】 （1）令a=b=0，則f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1
（2）令a=x，b=-x則 f(0)=f(x)f(-x) ∴
由已知x>0時，f(x)>1>0，當x<0時，-x>0，f(-x)>0
∴又x=0時，f(0)=1>0
∴對任意x∈r，f(x)>0
（3）任取x2>x1，則f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0
∴ ∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在r上是增函式
（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，
f(x)在r上遞增
∴由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 ∴ 0【反饋演練】
1．已知定義域為r的函式在區間上為減函式，且函式為偶函式，則（ d ）
a． b． c． d．
2．設函式為奇函式，則________．
3.函式的值域為
4.已知函式,當a<0時
5. 已知函式，
（1）當時，求該函式的定義域和值域；
（2）如果在區間上恆成立，求實數的取值範圍．
解：（1） 當時，
令，解得
所以函式的定義域為．
令，則所以
因此函式的值域為
（2） 解法一：在區間上恆成立等價於在區間
上恆成立
令當時，，所以滿足題意．
當時，是二次函式，對稱軸為，
當時，，函式在區間上是增函式，
，解得；
當時， ，，解得
當時，，，解得
綜上，的取值範圍是
解法二：在區間上恆成立等價於
在區間上恆成立
由且時，，得
令，則所以在區間上是增函式，所以
因此的取值範圍是．
導數函式綜合應用 含答案
一 選擇題 共6小題 1 定義在r上的函式y f x 滿足f 4 x f x x 2 f x 0，若x1 x2，且x1 x2 4，則有 a f x1 f x2 b f x1 f x2 c f x1 f x2 d 不確定 2 定義在 1，上的函式f x 滿足下列兩個條件 1 對任意的x 1，恒有f 2...
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