20.已知函式
（1）當時，求的極小值；
（2）若直線對任意的都不是曲線的切線，
求的取值範圍
（3）設，求的最大值的解析式。
解：（1）
當時，時，，
的極小值是
（2），要使直線對任意的都不是曲線的切線，當且僅當時成立，
（3）因最大值
①當時，
②當時，（ⅰ）當
（ⅱ）當時， 在單調遞增；
1°當時，
；2°當（ⅰ）當
（ⅱ）當
綜上15.已知，．
（1）當時，求證：在上是減函式；
（2）如果對不等式恆成立，求實數的取值範圍．
15．解：（1）當時，，
∵，∴在上是減函式.
（2）∵不等式恆成立，即不等式恆成立，
∴不等式恆成立. 當時， 不恆成立；
當時，不等式恆成立，即，∴.
當時，不等式不恆成立. 綜上，的取值範圍是.
19. 某公司有價值萬元的一條生產流水線，要提高該生產流水線的生產能力，就要對其進行技術改造，改造就需要投入資金，相應就要提高生產產品的售價。假設售價萬元與
技術改造投入萬元之間的關係滿足：
①與和的乘積成正比
③其中為常數，且。
（1）設，試求出的表示式，並求出的定義域；
（2）求**價的最大值，並求出此時的技術改造投入的的值.
解：（1）設可得
定義域為，為常數，
（2）噹噹上為增函式
時，投入時，售價最大為萬元；
當時，投入時，售價最大為萬元.
13.對於在區間上有意義的兩個函式和，如果對任意，均有, 那麼我們稱和在上是接近的．若與在閉區間上是接近的，則的取值範圍是 ．
15.(本小題滿分14分)
設集合為函式的定義域,集合為函式的值域,集合為不等式的解集．
（1）求；
（2）若,求的取值範圍．
解：（1）解得a=（-4，22分
b5分所以7分
（2）a的範圍為<0
19．（本小題滿分16分）
已知函式，存在正數，使得的定義域和值域相同．
（1）求非零實數的值；
（2）若函式有零點，求的最小值．
解：（1）若，對於正數，的定義域為，但的值域，故，不合要求2分
若，對於正數，的定義域為3分
由於此時，
故函式的值域6分
由題意，有，由於，所以8分
7、已知偶函式在上為減函式， 且，則不等式的解集為
11、記，已知函式是偶函式（為實常數），則函式的零點為寫出所有零點）
20、（本小題共16分）
已知.（1）若函式在區間上有極值，求實數的取值範圍；
（2）若關於的方程有實數解，求實數的取值範圍；
（3）當，時，求證：.
解：（1），
當時，；當時，；
函式在區間（0，1）上為增函式；在區間為減函式3分
當時，函式取得極大值，而函式在區間有極值.
，解得5分
（2）由（1）得的極大值為，令，所以當時，函式取得最小值，又因為方程有實數解，那麼，即，所以實數的取值範圍是10分
（另解：，，
令，所以，當時，
當時，；當時，
當時，函式取得極大值為
當方程有實數解時，.）
（3）函式在區間為減函式，而，
，即即，而，
結論成立
14．已知，且，，
則的值等於2 ．
17．一化工廠因排汙趨向嚴重，2023年1月決定著手整治。經調研，該廠第乙個月的汙染度為，整治後前四個月的汙染度如下表；
汙染度為後，該工廠即停止整治，汙染度又開始上公升，現用下列三個函式模擬從整治後第乙個月開始工廠的汙染模式：
，，，其中表示月數，分別表示汙染度．
（參考資料：）
（ⅰ）問選用哪個函式模擬比較合理，並說明理由；
（ⅱ）如果環保部門要求該廠每月的排汙度均不能超過60，若以比較合理的模擬函式**，該廠最晚在何時開始進行再次整治？
3分6分
由此可得更接近實際值，所以用模擬比較合理7分
（ⅱ）因在上是增函式，又因為 ………12分
這說明第一次整治後有16個月的汙染度不超過60，
故應在2023年5月起開始再次整治．
19．已知，其中是自然常數，
（ⅰ）當時, 研究的單調性與極值；
（ⅱ）在（ⅰ）的條件下，求證： ；
（ⅲ）是否存在實數，使的最小值是3？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
解：（ⅰ），
∴當時，，此時單調遞減
當時，，此時單調遞增
∴的極小值為
（ⅱ）的極小值為1，即在上的最小值為1，
∴ ，……5分
令，，當時，，在上單調遞增
∴∴在（1）的條件下，
（ⅲ）假設存在實數，使（）有最小值3，
① 當時，，所以， 所以在上單調遞減，
，（捨去），
所以，此時無最小值
②當時，在上單調遞減，在上單調遞增
，，滿足條件.
③ 當時，，所以，
所以在上單調遞減，，（捨去），
所以，此時無最小值
綜上，存在實數，使得當時有最小值3 .
13．如圖4，一塊曲線部分是拋物線形的鋼板，其底邊長為，高為，將此鋼板切割成
等腰梯形的形狀，記，梯形面積為．
則的最大值是
11．已知不等式≤，若對任意且，該不等式恆成立，則實
數的取值範圍是
17．某單位有員工1000名，平均每人每年創造利潤10萬元．為了增加企業競爭力，決定優化產業結構，調整出x (x∈)名員工從事第三產業，調整後他們平均每人每年創造利潤為萬元(a＞0)，剩下的員工平均每人每年創造的利潤可以提高0.2x%．
（1）若要保證剩餘員工創造的年總利潤不低於原來1000名員工創造的年總利潤，則最多調整出多少名員工從事第三產業？
（2）在（1）的條件下，若調整出的員工創造出的年總利潤始終不高於剩餘員工創造的年總利潤，則a的取值範圍是多少？
（1）由題意，得10(1000－x)(1＋0.2x %)≥10×10004分）
即－500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500
即最多調整500名員工從事第三產業6分）
（2）從事第三產業的員工創造的年總利潤為萬元，從事原來產業的員工的年總利潤為萬元，則≤，（10分）
所以ax－≤1000＋2x－x－，所以ax≤＋1000＋x，即a≤＋＋1恆成立12分）
因為＋≥＝4，當且僅當＝，即x＝500時等號成立，所以a≤5，又a＞0，所以0＜a≤5． 所以a的取值範圍為(0，．
20．若函式．
（1）當，時，若函式的影象與軸所有交點的橫座標的和與積分別為．
(ⅰ) 求證：的影象與軸恰有兩個交點．
（ⅱ）求證：．
（2）當時，設函式有零點，求的最小值．
解:（1）(ⅰ)因為，所以是使取得最小值的唯一的值，且在區間上，函式單調遞減；在區間上，函式單調遞增；．所以的影象與軸恰有兩個交點． 4 分
（ⅱ）設是方程的兩個根，則有因式，
且可令，於是有
① 得，解得
，所以；
分別比較①式中含和的項的係數，得 ②
③ 由②③得8分
（2）方程化為：，令，方程為，，設10分
當，即時，只需，此時；
當，即時，只需，此時；
當，即時，只需或，此時的最小值為．
6.若關於的不等式：的解集為，則實數的取值範圍為
12.若正實數滿足：，則的最大值為
14．若函式在區間恰有乙個極值點，則實數的取值範圍為
15.已知。
（1）若為真命題，求實數的取值範圍。
（2）若為成立的充分不必要條件，求實數的取值範圍。
17.如圖，某單位準備修建乙個面積為600平方公尺和矩形場地（圖中）的圍牆，且要求中間用圍牆隔開，使得為矩形，為正方形，設公尺，已知圍牆（包括）的修建費用均為800元每平方公尺，設圍牆（包括）的的修建總費用為元。
（1）求出關於的函式解析式；
（2）當為何值時，設圍牆（包括）的的修建總費用最小？並求
出的最小值。
17. 解：（1）設公尺，則由題意
得，且，
故，可得4分
（說明：若缺少「」扣2分）
則，所以y關於x的函式解析式為.
（2），
當且僅當，即時等號成立.
故當x為20公尺時，y最小. y的最小值為96000元.
函式與導數真題1617
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