北京近四年高考題及2023年一模、二模函式與導數解答題彙編
（2012北京高考理）
18．（本小題共13分）
已知函式，.
(1) 若曲線與曲線在它們的交點處具有公共切線，求的值；
(2) 當時，求函式的單調區間，並求其在區間上的最大值.
【解析】
（1）由為公共切點可得：
，則，，
，則，，
①又，，
，即，代入①式可得：．
（2），設
則，令，解得：，；
， ，原函式在單調遞增，在單調遞減，在上單調遞增
①若，即時，最大值為；
②若，即時，最大值為
③若時，即時，最大值為．
綜上所述：
當時，最大值為；當時，最大值為．
（2011北京高考理）
（18）（本小題共13分）
已知函式。
（ⅰ）求的單調區間；
（ⅱ）若對於任意的，都有≤，求的取值範圍。
【解析】：（ⅰ），令，當時，的情況如下：
所以，的單調遞增區間是和：單調遞減區間是，當時，與的情況如下：
所以，的單調遞減區間是和：單調遞減區間是。
（ⅱ）當時，因為，所以不會有當時，由（ⅰ）知在上的最大值是所以等價於， 解得故當時，的取值範圍是[，0]。
（2010北京高考理）
（18）（本小題共13分）已知函式 ()=in(1+)-+ (≥0)。
（ⅰ）當=2時，求曲線= ()在點(1， (1))處的切線方程；
（ⅱ）求()的單調區間。
解：（i）當時，，
由於，，
所以曲線在點處的切線方程為
即（ii），.
當時，.
所以，在區間上，；在區間上，.
故得單調遞增區間是，單調遞減區間是.
當時，由，得，
所以，在區間和上，；在區間上，
故得單調遞增區間是和，單調遞減區間是.
當時，故得單調遞增區間是.
當時，，得，.
所以沒在區間和上，；在區間上，
故得單調遞增區間是和，單調遞減區間是
（2009北京高考理）
18．（本小題共13分）
設函式（ⅰ）求曲線在點處的切線方程；
（ⅱ）求函式的單調區間；
（ⅲ）若函式在區間內單調遞增，求的取值範圍.
解析】本題主要考查利用導數研究函式的單調性和極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力．
（ⅰ）,
曲線在點處的切線方程為
（ⅱ）由，得，
若，則當時，，函式單調遞減，
當時，，函式單調遞增，
若，則當時，，函式單調遞增，
當時，，函式單調遞減，
（ⅲ）由（ⅱ）知，若，則當且僅當，即時，函式在內單調遞增；
若，則當且僅當，即時，函式在內單調遞增， 綜上可知，函式在區間內單調遞增時，的取值範圍是.
（2013海淀一模）
18.已知函式(其中為常數且)在處取得極值.
(i) 當時，求的單調區間；
(ii) 若在上的最大值為，求的值.
解：（i）因為所以………………2分
因為函式在處取得極值
3分當時，，，
隨的變化情況如下表：
………………5分
所以的單調遞增區間為,
單調遞減區間為6分
(ii)由（i）可得
因為，令7分
因為在處取得極值，所以
當時，在上單調遞增，在上單調遞減
所以在區間上的最大值為，令，解得………………9分
當，當時，在上單調遞增，上單調遞減，上單調遞增
所以最大值1可能在或處取得
而所以，解得11分
當時,在區間上單調遞增，上單調遞減，上單調遞增
所以最大值1可能在或處取得
而所以，
解得，與矛盾12分
當時，在區間上單調遞增，在單調遞減，
所以最大值1可能在處取得，而，矛盾
綜上所述，或13分
分析：題型常規，但是討論複雜學生很容易討論不完全，而且有一部分學生不知道如何討論！
（2013海淀二模）已知函式,點為一定點,直線分別與函式的圖象和軸交於點, ,記的面積為.（）當時,求函式的單調區間；
（）當時, 若,使得, 求實數的取值範圍.
【解析】解: (i) 因為，其中
當，，其中
當時，，，所以，所以在上遞增
當時，，，
令，解得，所以在上遞增
令，解得，所以在上遞減
綜上，的單調遞增區間為，
的單調遞增區間為
（ii）因為，其中
當，時，
因為，使得，所以在上的最大值一定大於等於
，令，得
當時，即時，對成立，單調遞增
所以當時，取得最大值
令，解得，
所以 當時，即時
對成立，單調遞增
對成立，單調遞減
所以當時，取得最大值
令，解得
所以綜上所述，
（2013西城一模）
已知函式，，其中．
（ⅰ）求的極值；
（ⅱ）若存在區間，使和在區間上具有相同的單調性，求的取值範圍．
解：（）的定義域為1分
2分當時，，故在上單調遞減．
從而沒有極大值，也沒有極小值3分
② 當時，令，得
，和的情況如下：
故的單調減區間為；單調增區間為．
從而的極小值為；沒有極大值5分
（ⅱ）的定義域為，且6分
當時，顯然，從而在上單調遞增．
由（ⅰ）得，此時在上單調遞增，符合題意8分
當時，在上單調遞增，在上單調遞減，不合題意．
……9分
當時，令，得．
，和的情況如下表：
當時，，此時在上單調遞增，
由於在上單調遞減，不合題意11分
當時，，此時在上單調遞減，由於在上單調遞減，符合題意
綜上，的取值範圍是13分
分析：此題第一問是常規題，但是第二問出題較新穎，不能靈活應用的學生是想不到的。而且學生在求導上還可能出錯！
（2013西城二模）已知函式，其中．
（ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；
（ⅱ）求在區間上的最大值和最小值．
（ⅰ）解：的定義域為， 且
當時，，，
所以曲線在點處的切線方程為，
即（ⅱ）解：方程的判別式為．
（ⅰ）當時，，所以在區間上單調遞增，所以在區間
上的最小值是；最大值是
（ⅱ）當時，令，得，或
和的情況如下：
故的單調增區間為，；單調減區間為．
① 當時，，此時在區間上單調遞增，所以在區間
上的最小值是；最大值是
② 當時，，此時在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
所以在區間上的最小值是．
因為，所以當時，在區間上的最大值是；當時，在區間上的最大值是
③ 當時，，此時在區間上單調遞減，
所以在區間上的最小值是；最大值是
綜上，當時，在區間上的最小值是，最大值是；
當時，在區間上的最小值是，最大值是；
當時，在區間上的最小值是，最大值是；
當時，在區間上的最小值是，最大值是．
（2013東城一模）
解： （12分
在上存在單調遞增區間
存在的子區間，使得時
在上單調遞減
，即解得
當時，在上存在單調遞增區間6分
（2）令即
； 則 ，，的情況如下
在上單調遞減，在上單調遞增
在上單調遞增，在上單調遞減8分
所以的最大值為
10分解得13分
分析該題求導簡單，學生很容易求出來，後面大部分用的是比較區間的方法。還是較易想到。但是在第二題的兩根有點不是很常規，就是學生求出來後，都有可能不自信而不敢在做！
（2013東城二模）
已知函式.
(ⅰ)求的單調區間；
(ⅱ)如果是曲線上的任意一點，若以為切點的切線的斜率恆成立，求實數的最小值；
（ⅲ）討論關於的方程的實根情況.
解:(ⅰ) ，定義域為,
則.因為,由得, 由得，
所以的單調遞增區間為,單調遞減區間為.
(ⅱ)由題意，以為切點的切線的斜率滿足
，所以對恆成立.
又當時, ,
所以的最小值為
(ⅲ)由題意，方程化簡得
+令，則.
當時, ，
當時, ,
所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．
所以在處取得極大值即最大值，最大值為.
所以當， 即時， 的圖象與軸恰有兩個交點，
方程有兩個實根,
當時，的圖象與軸恰有乙個交點，
方程有乙個實根,
當時，的圖象與軸無交點，
方程無實根
（2013朝陽一模）
解：解：函式定義域為，且
且2分①當，即時，令，得，函式的單調遞減區間為，
令，得，函式的單調遞增區間為.
②當，即時，令，得或，
函式的單調遞增區間為，.
令，得，函式的單調遞減區間為.
③當，即時，恆成立，函式的單調遞增區間為. …7分
(ⅱ)①當時，由(ⅰ)可知，函式的單調遞減區間為，在單調遞增.
所以在上的最小值為，
由於，要使在上有且只有乙個零點，
需滿足或解得或.
解答題規範專練 一 函式與導數
1 2013 蘭州調研 已知實數a 0，函式f x ax x 2 2 x r 有極大值32.1 求函式f x 的單調區間 2 求實數a的值 2 設函式f x a2ln x x2 ax，a 0.1 求f x 的單調區間 2 求所有的實數a，使e 1 f x e2對x 1，e 恆成立 注 e為自然對數的...
函式與導數
1.北京文 18 本小題共13分 已知函式.求的單調區間 求在區間 0,1 上的最小值.解析 18 共13分 解 令，得 與的情況如下 所以，的單調遞減區間是 單調遞增區間是 當，即時，函式在 0，1 上單調遞增，所以 x 在區間 0，1 上的最小值為 當時，由 知上單調遞減，在上單調遞增，所以在區...
函式與導數小結
求函式最值的常用方法 二次函式法 配方法 圖象法 基本不等式法 線性規劃 導數。求引數範圍常用技巧 引數分離 分類討論。一 重要結論 1 若對任意的，使得成立對任意的，恆成立 2 若對至少存在乙個,使得f x0 g x0 成立 3 若對任意的，使得成立的最小值的最大值 4 若對任意的，必存在，使得成...