專題一：函式與導數
北京豐台二中張健
例1. 設函式y＝f(x)在r上有定義，對於給定的正數m，定義函式fm(x)＝則稱函式fm(x)為f(x)的「孿生函式」．若給定函式f(x)＝2－x2，m＝1，則fm(fm(0))的值為 a．2b．1cd．－
:練1：若函式f(x)＝則f(log23)等於 ( )
a．3b．4c．16d．24
練2. 已知函式f(x)＝2＋log3x(1≤x≤9)，則函式y＝[f(x)]2＋f(x2)
的最大值為
a．33b．22c．13d．6
例2.已知函式f(x)＝x3＋x，對任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恆成立，則x的取值範圍為________．
練1：f(x)是定義在r上的奇函式，且當x>0時，f(x)＝ex＋a，若f(x)在r上是單調函式，
則實數a的最小值是____．
例3.形如y＝(a>0，b>0)的函式，因其圖象類似於漢字中的「囧」字，故我們把它稱為「囧函式」．若當a＝1，b＝1時的「囧函式」與函式y＝lg|x|圖象的交點個數為n，則n
練1：已知函式f(x)＝若|f(x)|≥ax，則a的取值範圍是
a．(－∞，0] b．(－∞，1] c．[－2,1] d．[－2,0]
練2：若函式f(x)＝若f(a)>f(－a)，則實數a的取值範圍是 ( )
a．(－1,0)∪(0,1b．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
c．(－1,0)∪(1d．(－∞，－1)∪(0,1)
練3：函式y＝的圖象大致是 ( )
練4：若函式f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0且a≠1)在r上既是奇函式，又是減函式，
則g(x)＝loga(x＋k)的圖象是 ( )
練5：已知直線y＝mx與函式f(x)＝的圖象恰好有3個不同的公共點，
則實數m的取值範圍是( )
a.(，4) bc．(，5) d．(，2)
練6.已知函式f(x)＝為r上的單調函式，則實數a的取值範圍是( )
a．[－1,0) b．(0，＋∞) c．(－2,0) d．(－∞，－2)
練7：定義域為r的偶函式f(x)滿足對x∈r，有f(x＋2)＝f(x)－f(1)，且當x∈[2,3]時，f(x)＝－2x2＋12x－18，若函式y＝f(x)與函式y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)上至少有三個交點，則a的取值範圍是( )
a. b. c. d.
例4.若f(x)＋1＝，當x∈[0,1]時，f(x)＝x，若在區間(－1,1]內，g(x)＝f(x)－mx－m
有兩個零點，則實數m的取值範圍是（ ）
a．[0，) b．[，＋∞) c．[0，) d．(0，]
練1：設函式存在零點，則實數a的取值範圍是_______。
例5.已知函式.
(ⅰ) 討論函式的單調性；（ⅱ）當時，求函式在區間的最小值.
練1：已知函式,其中.
(ⅱ)求在區間上的最大值和最小值.
練2： 已知函式(). 當時,取得極值. 若,求函式在上的最小值。
練3：已知函式f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝ex(2x＋2)，若x≥－2時，f(x)≤kgf(x)，求k的取值範圍。
例2. 已知函式,.
（1）當時，求函式的單調區間；
（2）當時，函式在上的最大值為，若存在，使得成立，求實數b的取值範圍.
練1：已知函式f ( x )=ex-ln(x+m)，當m≤2時，證明f ( x )>0
練2：已知函式(),.
(ⅰ)求函式的單調區間;
(ⅱ)當時,若對任意,恆成立,求的取值範圍.
【答案】(本小題滿分1 )
解:(ⅰ)函式的定義域為,
①當時,當變化時, ,的變化情況如下表:
所以,函式的單調遞增區間是,單調遞減區間是,
②當時,當變化時, ,的變化情況如下表:
所以,函式的單調遞增區間是, ,單調遞減區間是.
(ⅱ)依題意,「當時,對於任意,恆成立」等價於 「當時,對於任意,成立」.
當時,由(ⅰ)知,函式在上單調遞增,在上單調遞減,
因為, ,所以函式的最小值為.
所以應滿足
因為,所以
①當時,函式, , ,
顯然不滿足,故不成立
②當時,令得, ,.
(ⅰ)當,即時,在上,所以函式在上單調遞增,
所以函式.
由得, ,所以
(ⅱ)當,即時,
在上,在上,
所以函式在上單調遞增,在上單調遞減,
所以. 由得, ,所以
(ⅲ)當,即時,顯然在上,
函式在上單調遞增,且.
顯然不成立,故不成立
綜上所述,的取值範圍是
函式與導數解答案
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