一、10年高考真題精典回顧：
1．（2010山東理數） (本小題滿分14分)
已知函式.
(ⅰ)當時，討論的單調性；
（ⅱ）設當時，若對任意，存在，使
，求實數取值範圍.
（ⅱ）當時，在（0，1）上是減函式，在（1，2）上是增函式，所以對任意，
有，又已知存在，使，所以，，
即存在，使，即，即，
所以，解得，即實數取值範圍是。
【命題意圖】本題將導數、二次函式、不等式知識有機的結合在一起，考查了利用導數研究函式的單調性、利用導數求函式的最值以及二次函式的最值問題，考查了同學們分類討論的數學思想以及解不等式的能力；考查了學生綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力。
（1）直接利用函式與導數的關係討論函式的單調性；（2）利用導數求出的最小值、利用二次函式知識或分離常數法求出在閉區間[1,2]上的最大值，然後解不等式求引數。
2．（2010北京理數） (本小題共13分)
已知函式()=in(1+)-+(≥0)。
(ⅰ)當=2時，求曲線=()在點(1，(1))處的切線方程；
(ⅱ)求()的單調區間。
解：（i）當時，，
由於，，
所以曲線在點處的切線方程為
即（ii），.
當時，.
所以，在區間上，；在區間上，.
故得單調遞增區間是，單調遞減區間是.
當時，由，得，
所以，在區間和上，；在區間上，
故得單調遞增區間是和，單調遞減區間是.
當時，故得單調遞增區間是.
當時，，得，.
所以沒在區間和上，；在區間上，
故得單調遞增區間是和，單調遞減區間是
3．（2010浙江理數） (本題滿分14分)已知是給定的實常數，設函式，，
是的乙個極大值點．
(ⅰ)求的取值範圍；
(ⅱ)設是的3個極值點，問是否存在實數，可找到，使得的某種排列(其中=)依次成等差數列?若存在，求所有的及相應的；若不存在，說明理由．
解析：本題主要考查函式極值的概念、導數運算法則、導數應用及等差數列等基礎知識，同時考查推理論證能力、分類討論等綜合解題能力和創新意識。
（ⅰ）解：f』(x)=ex(x-a)
令於是，假設
（1） 當x1=a 或x2=a時，則x=a不是f(x)的極值點，此時不合題意。
（2） 當x1a且x2a時，由於x=a是f(x)的極大值點，故x1即
即所以b＜-a
所以b的取值範圍是（-∞，-a）此時或
（2）當時，則或
於是此時
綜上所述，存在b滿足題意，
當b=-a-3時，
時，時，
4．（2010遼寧理數）（本小題滿分12分）
已知函式
（i）討論函式的單調性；
（ii）設.如果對任意，，求的取值範圍。
解：（ⅰ）的定義域為（0，+∞）. .
當時，＞0，故在（0，+∞）單調增加；
當時，＜0，故在（0，+∞）單調減少；
當-1＜＜0時，令=0，解得.
則當時，＞0；時，＜0.
故在單調增加，在單調減少.
（ⅱ）不妨假設，而＜-1，由（ⅰ）知在（0，+∞）單調減少，從而
，等價於令，則
①等價於在（0，+∞）單調減少，即
從而故a的取值範圍為（-∞，-212分
5．（2010江西理數）（本小題滿分12分）
設函式。
（1）當a=1時，求的單調區間。
（2）若在上的最大值為，求a的值。
【解析】考查函式導數運算、利用導數處理函式最值等知識。
解：對函式求導得：，定義域為（0，2）
（1） 單調性的處理，通過導數的零點進行穿線判別符號完成。
當a=1時，令
當為增區間；當為減函式。
（2） 區間上的最值問題，通過導數得到單調性，結合極值點和端點的比較得到，確定
待定量a的值。
當有最大值，則必不為減函式，且》0，為單調遞增區間。
最大值在右端點取到。。
6．（2010天津理數）（本小題滿分14分）
已知函式
（ⅰ）求函式的單調區間和極值；
（ⅱ）已知函式的圖象與函式的圖象關於直線對稱，證明當時，
（ⅲ）如果，且，證明
【解析】本小題主要考查導數的應用，利用導數研究函式的單調性與極值等基礎知識，考查運算能力及用函式思想分析解決問題的能力，滿分14分
（ⅰ）解：f』
令f』(x)=0,解得x=1
當x變化時，f』(x)，f(x)的變化情況如下表
所以f(x)在()內是增函式，在()內是減函式。
函式f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=
（ⅱ）證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令f(x)=f(x)-g(x),即
於是當x>1時，2x-2>0,從而』(x)>0,從而函式f（x）在[1,+∞)是增函式。
又f(1)=f(x)>f(1)=0,即f(x)>g(x).
ⅲ)證明：（1）
若（2）若
根據（1）（2）得
由（ⅱ）可知，>,則=，所以》,從而》.因為，所以，又由（ⅰ）可知函式f(x)在區間（-∞，1）內事增函式，所以》,即》2.
二、11年高考數列分析與**：
以函式為載體，以導數為工具，考查函式性質及導數極值理論，單調性及其應用為目標，是最近幾年函式與導數交匯試題的顯著特點和命題趨向，**2023年高考導數問題命題的五大熱點如下：
熱點一、在導數與函式性質的交匯點命題：主要考查導數的簡單應用，包括求函式的極值，求函式的單調區間，證明函式的單調性等。命題的熱點：
三次函式求導後為二次函式，結合一元二次方程根的分布，考查代數推理能力、語言轉化能力和待定係數法等數學思想。
熱點二、在導數與含引數函式的交匯點命題：主要考查含引數函式的極值問題，分類討論思想及解不等式的能力，利用分離變數法求引數的取值範圍等問題。
熱點三、在導數與解析幾何交匯點命題：主要考查對導數的幾何意義，切線的斜率，導數與函式單調性，最（極）值等綜合運用知識的能力。
熱點四、在導數與向量問題交匯點命題：依託向量把函式單調性，奇偶性，解不等式等知識融合在一起。即考查了向量的有關知識，又考查了函式性質及解不等式等內容。
熱點五、在導數與函式模型構建交匯點命題：主要考查考生將實際問題轉化為數學問題，運用導數工具和不等式知識去解決最優化問題的數學應用意識和實踐能力。
備考指南：
複習時，考生要「回歸」課本，濃縮所學的知識，夯實基礎，熟練掌握解題的通性、通法，提高解題速度。同時，許多高考試題在教材中都有原型，即由教材中的例題、習題引申變化而來。因此，考生必須利用好課本，夯實基礎知識。
三、高考熱點新題：
1.已知函式,
（ⅰ）求函式的定義域；
（ⅱ）求函式的單調區間；
（ⅲ）當》0時，若存在x使得成立，求的取值範圍.
2.已知函式的影象關於原點成中心對稱 ，設函式．
(1)求的單調區間;
(2)已知對任意恆成立．求實數的取值範圍(其中是自然對數的底數)．
3.設函式，其中為常數．
（ⅰ）當時，判斷函式在定義域上的單調性；
（ⅱ）若函式的有極值點，求的取值範圍及的極值點；
（ⅲ）若,試利用（ii）求證：n3時，恒有。
4.已知函式
（1） 求在處的切線方程
（2） 若的乙個極值點到直線的距離為1，求的值；
（3） 求方程的根的個數.
答案：1．解：（ⅰ）當時函式的定義域為；
當時函式的定義域為
（ⅱ）令時，得即，
①當時，時，當時，，
故當時，函式的遞增區間為，遞減區間為
②當時，，所以，
故當時，在上單調遞增．
③當時，若，;若，，
故當時，的單調遞增區間為;單調遞減區間為．
（ⅲ）因為當時，函式的遞增區間為;單調遞減區間為
若存在使得成立，只須，
即2．解: (1) 由已知可得c=0, ∴
, 令,得．列表如下:
所以的單調增區間為,單調減區間為和
(2)在兩邊取對數,得．而．所以
由(1)知當時,．所以．
3．解：（1）由題意知，的定義域為，
當時， ，函式在定義域上單調遞增．
（2） ①由（ⅰ）得，當時，,函式無極值點
②當時，有兩個不同解
時，，,
此時 ，隨在定義域上的變化情況如下表：
由此表可知：時，有惟一極小值點，
ii） 當時，0<<1 此時，，隨的變化情況如下表：
由此表可知：時，有乙個極大值和乙個極小值點；
綜上所述：當時，有惟一最小值點；
當時，有乙個極大值點和乙個極小值點
（3）由（2）可知當時，函式，此時有惟一極小值點
且令函式4．解：（1且
故在點處的切線方程為：
（2）由得，
故僅有乙個極小值點，根據題意得：
或 （3）令
當時，當時，因此，在時，單調遞減，
在時，單調遞增
又為偶函式，當時，極小值為
當時，， 當時，
當時，， 當時，
故的根的情況為：
當時，即時，原方程有2個根；
當時，即時，原方程有3個根；
當時，即時，原方程有4個根
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