高考命題分析
函式是數學永恆的主題，是中學數學最重要的主幹知識之一；導數是研究函式的有力工具，函式與導數不僅是高中數學的核心內容，還是學習高等數學的基礎，而且函式的觀點及其思想方法貫穿於整個高中數學教學的全過程，高考對函式的考查更多的是與導數的結合，發揮導數的工具性作用，應用導數研究函式的性質、證明不等式問題等，體現出高考的綜合熱點．所以在高考中函式知識占有極其重要的地位，是高考考查數學思想、數學方法、能力和素質的主要陣地．
高考命題特點
函式與導數在高考試卷中形式新穎且呈現出多樣性，既有選擇題、填空題，又有解答題．其命題特點如下：
(1)全方位：近年新課標的高考題中，函式的知識點基本都有所涉及，雖然高考不強調知識點的覆蓋率，但函式知識點的覆蓋率依然沒有減小．
(2)多層次：在近年新課標的高考題中，低檔、中檔、高檔難度的函式題都有，且題型齊全．低檔難度題一般僅涉及函式本身的內容，諸如定義域、值域、單調性、週期性、圖象等，且對能力的要求不高；中、高檔難度題多為綜合程度較高的試題，或者函式與其他知識結合，或者是多種方法的滲透．
(3)巧綜合：為了突出函式在中學數學中的主體地位，近年高考強化了函式與其他知識的滲透，加大了以函式為載體的多種方法、多種能力(甚至包括閱讀能力、理解能力、表述能力、資訊處理能力)的綜合程度．
(4)變角度：出於「立意」和創設情景的需要，函式試題設定問題的角度和方式也不斷創新，重視函式思想的考查，加大了函式應用題、探索題、開放題和資訊題的考查力度，從而使函式考題顯得新穎、生動、靈活．
(5)重能力：以導數為背景與其他知識(如函式、方程、不等式、數列等)交匯命題．利用導數解決相關問題，是命題的熱點，而且不斷豐富創新．解決該類問題要注意函式與方程、轉化與化歸、分類討論等數學思想的應用．綜合考查學生分析問題、解決問題的能力和數學素養．
高考動向透視
函式的概念和性質
函式既是高中數學中極為重要的內容，又是學習高等數學的基礎．函式的基礎知識涉及函式的三要素、函式的表示方法、單調性、奇偶性、週期性等內容．縱觀全國各地的高考試題，可以發現對函式基礎知識的考查主要以客觀題為主，難度中等偏下，在解答題中主要與多個知識點交匯命題，難度中等．
【示例1】(2011·安徽)設f(x)是定義在r上的奇函式，當x≤0時，f(x)＝2x2－x，則f(1)＝( )．
a．－3b．－1c．1d．3
解析法一 ∵f(x)是定義在r上的奇函式，且x≤0時，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.故選a.
法二設x＞0，則－x＜0，∵f(x)是定義在r上的奇函式，且x≤0時，f(x)＝2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－2x2－x，∴f(1)＝－2×12－1＝－3，故選a.
答案 a
本題考查函式的奇偶性和函式的求值，解題思路有兩個：一是利用奇函式的性質，直接通過f(1)＝－f(－1)計算；二是利用奇函式的性質，先求出x＞0時f(x)的解析式，再計算f(1)．
指數函式、對數函式、冪函式
指數函式在新課標高考中占有十分重要的地位，因此高考對指數函式的考查有公升溫的趨勢，重點是指數函式的圖象和性質，以及函式的應用問題．對於冪函式應重點掌握五種常用冪函式的圖象及性質，此時，冪的運算是解決有關指數問題的基礎，也要引起重視．對數函式在新課標中適當地降低了要求，因此高考對它的考查也會適當降低難度，但它仍是高考的熱點內容，重點考查對數函式的圖象和性質及其應用．
【示例2】(2011·天津)已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝log30.3，則( )．
a．a＞b＞c b．b＞a＞c c．a＞c＞b d．c＞a＞b
解析因為c＝5－log30.3＝5log3，又log23.4＞log3 3.
4＞log3＞1＞log43.6＞0，且指數函式y＝5x是r上的增函式，所以a＞c＞b.故選c.
答案 c
本題主要考查指數函式單調性的應用、對數式的大小比較．一般是利用指數函式單調性進行比較．對數式的比較類似指數式的比較，也可以尋找中間量．
函式的應用
函式的應用歷來是高考重視的考點，新課標高考更是把這個考點放到了乙個重要的位置．相對於大綱的高考，新課標高考無論在考查內容上還是力度上都有所加強，這主要體現在函式與方程方面，函式與方程已經成為新課標高考的乙個命題熱點，值得考生重視．
【示例3】(2011·山東)已知f(x)是r上最小正週期為2的週期函式，且當0≤x＜2時，f(x)＝x3－x，則函式y＝f(x)的圖象在區間[0,6]上與x軸的交點的個數為
( )．
a．6b．7c．8d．9
解析由f(x)＝0，x∈[0,2)可得x＝0或x＝1，即在乙個週期內，函式的圖象與x軸有兩個交點，在區間[0,6)上共有6個交點，當x＝6時，也是符合要求的交點，故共有7個不同的交點．故選b.
答案 b
本小題考查對週期函式的理解與應用，考查三次方程根的求法、轉化與化歸思想及推理能力，難度較小．求解本題的關鍵是將f(x)＝x3－x進行因式分解，結合週期函式的性質求出f(x)＝0在區間[0,6]上的根，然後將方程f(x)＝0的根轉化為函式圖象與x軸的交點問題．
導數的概念及運算
從近兩年的高考試題來看，利用導數的幾何意義求曲線在某點處的切線方程是高考的熱點問題，解決該類問題必須熟記導數公式，明確導數的幾何意義是曲線在某點處切線的斜率，切點既在切線上又在曲線上．
【示例4】已知點p在曲線f(x)＝x4－x上，曲線在點p處的切線平行於直線3x－y＝0，則點p的座標為________．
解析由題意知，函式f(x)＝x4－x在點p處的切線的斜率等於3，即f′(x0)＝4x－1＝3，∴x0＝1，將其代入f(x)中可得p(1,0)．
答案 (1,0)
本題主要考查導數的幾何意義及簡單的邏輯推理能力．
利用導數求函式的單調區間、極值、最值
從近兩年的高考試題來看，利用導數研究函式的單調性和極、最值問題已成為高考考查的熱點．解決該類問題要明確：導數為零的點不一定是極值點，導函式的變號零點才是函式的極值點；求單調區間時一定要注意函式的定義域；求最值時需要把極值和端點值逐一求出，比較即可．
【示例5】已知函式f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點x＝1處的切線l不過第四象限且斜率為3，又座標原點到切線l的距離為，若x＝時，y＝f(x)有極值．
(1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
解 (1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得
f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
當x＝1時，切線l的斜率為3，可得2a＋b＝0.①
當x＝時，y＝f(x)有極值，則f′＝0，可得
4a＋3b＋4＝0.②
由①②解得a＝2，b＝－4.
設切線l的方程為y＝3x＋m
由原點到切線l的距離為，
則＝，解得m＝±1.
∵切線l不過第四象限∴m＝1，
由於切點的橫座標為x＝1，∴f(1)＝4，
∴1＋a＋b＋c＝4 ∴c＝5.
(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
∴f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，得x＝－2，x＝.
f(x)和f′(x)的變化情況如下表：
∴f(x)在x＝－2處取得極大值f(－2)＝13，
在x＝處取得極小值f＝.
又f(－3)＝8，f(1)＝4，
∴f(x)在[－3,1]上的最大值為13，最小值為.
在解決類似的問題時，首先要注意區分函式最值與極值的區別．求解函式的最值時，要先求函式y＝f(x)在[a，b]內所有使f′(x)＝0的點，再計算函式y＝f(x)在區間內所有使f′(x)＝0的點和區間端點處的函式值，最後比較即得．
突出以函式與導數為主的綜合應用
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