一、選擇題
1．(2023年高考大綱全國卷)函式y＝2 (x≥0)的反函式為( )
a．y＝(x∈rb．y＝(x≥0)
c．y＝4x2(x∈rd．y＝4x2(x≥0)
2．(2023年高考湖北卷)已知u＝，p＝，則up＝( )
a. b.
c. d.∪
3．(2023年高考湖北卷)若實數a，b滿足a≥0，b≥0，且ab＝0，則稱a與b互補，記φ＝－a－b，那麼φ＝0是a與b互補的( )
a．必要而不充分的條件
b．充分而不必要的條件
c．充要條件
d．既不充分也不必要的條件
4．(2023年高考重慶卷)「x<－1」是「x2－1>0」的( )
a．充分而不必要條件
b．必要而不充分條件
c．充要條件
d．既不充分也不必要條件
5．(2023年高考四川卷)函式f在點x＝x0處有定義是f在點x＝x0處連續的( )
a．充分而不必要的條件
b．必要而不充分的條件
c．充要條件
d．既不充分也不必要的條件
6．(2023年高考四川卷)已知定義在上的函式f滿足f＝3f，當x∈時，f＝－x2＋2x.設f在上的最大值為an，且的前n項和為sn，則sn＝( )
a．3b.
c．2d.
7．(2023年高考課標全國卷)下列函式中，既是偶函式又在上單調遞增的函式是( )
a．y＝x3b．y＝|x|＋1
c．y＝－x2＋1d．y＝2－|x|
8．(2023年高考浙江卷)若a，b為實數，則「0」的( )
a．充分而不必要條件
b．必要而不充分條件
c．充分必要條件
d．既不充分也不必要條件
9．(2023年高考遼寧卷)函式f(x)的定義域為r，f(－1)＝2，對任意x∈r，f′(x)>2，則f(x)>2x＋4的解集為( )
a．(－1,1b．(－1，＋∞)
c．(－∞，－1d．(－∞，＋∞)
10．(2023年高考福建卷)對於函式f(x)＝asin x＋bx＋c(其中a，b∈r，c∈z)，選取a，b，c的一組值計算f(1)和f(－1)，所得出的正確結果一定不可能是( )
a．4和6b．3和1
c．2和4d．1和2
11．(2023年高考安徽卷)函式f(x)＝axm(1－x)n在區間[0,1]上的圖象如圖所示，則m，n的值可能是( )
a．m＝1，n＝1b．m＝1，n＝2
c．m＝2，n＝1d．m＝3，n＝1
12．(2023年高考湖南卷)由直線x＝－，x＝，y＝0與曲線y＝cos x所圍成的封閉圖形的面積為( )
ab．1
cd.13．(2023年高考陝西卷)設集合m＝，n＝，則m∩n為( )
a．(0,1b．(0,1]
c．[0,1d．[0,1]
14．(2023年高考江西卷)若f(x)＝x2－2x－4ln x，則f′(x)＞0的解集為( )
a．(0，＋∞)
b．(－1,0)∪(2，＋∞)
c．(2，＋∞)
d．(－1,0)
15．(2023年高考廣東卷)設s是整數集z的非空子集，如果a，b∈s，有ab∈s，則稱s關於數的乘法是封閉的．若t，v是z的兩個不相交的非空子集，t∪v＝z，且a，b，c∈t，有abc∈t；x，y，z∈v，有xyz∈v，則下列結論恆成立的是( )
a．t，v中至少有乙個關於乘法是封閉的
b．t，v中至多有乙個關於乘法是封閉的
c．t，v中有且只有乙個關於乘法是封閉的
d．t，v中每乙個關於乘法都是封閉的
二、填空題
16．(2023年高考山東卷)已知函式f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)．當217．(2023年高考江蘇卷)已知集合a＝，b＝，則a∩b
18．(2023年高考北京卷)已知函式f(x)＝若關於x的方程f(x)＝k有兩個不同的實根，則實數k的取值範圍是________．
19．(2023年高考陝西卷)設f(x)＝若f(f(1))＝1，則a
20．(2023年高考陝西卷)設n∈n＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數根的充要條件是n
三、解答題
21．(2023年高考重慶卷)設f＝x3＋ax2＋bx＋1的導數f′滿足f′(1)＝2a，f′＝－b，其中常數a，b∈r.
(1)求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程．
(2)設g(x)＝f′(x)e－x，求函式g(x)的極值．
22．(2023年高考山東卷)某企業擬建如圖所示的容器(不計厚度，長度單位：公尺)，
其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的容積為立方公尺，且l≥2r.假設該容器的建造費用僅與其表面積有關．已知圓柱形部分每平方公尺建造費用為3千元，半球形部分每平方公尺建造費用為c(c>3)千元．設該容器的建造費用為y千元．
(1)寫出y關於r的函式表示式，並求該函式的定義域；
(2)求該容器的建造費用最小時的r.
23．(2023年高考江蘇卷)已知a，b是實數，函式f(x)＝x3＋ax，g(x)＝x2＋bx，f′(x)和g′(x)分別是f(x)和g(x)的導函式．若f′(x)g′(x)≥0在區間i上恆成立，則稱f(x)和g(x)在區間i上單調性一致．
(1)設a>0，若f(x)和g(x)在區間[－1，＋∞)上單調性一致，求b的取值範圍；
(2)設a<0且a≠b，若f(x)和g(x)在以a，b為端點的開區間上單調性一致，求|a－b|的最大值．
24．(2023年高考天津卷)已知a>0，函式f(x)＝ln x－ax2，x>0.(f(x)的圖象連續不斷)
(1)求f(x)的單調區間；
(2)當a＝時，證明：存在x0∈(2，＋∞)，使f(x0)＝f；
(3)若存在均屬於區間[1,3]的α，β，且β－α≥1，使f(α)＝f(β)，證明：≤α≤.
25．(2023年高考北京卷)已知函式f(x)＝(x－k)2e.
(1)求f(x)的單調區間；
(2)若對於任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤，求k的取值範圍．
26．(2023年高考江西卷)設f(x)＝－x3＋x2＋2ax.
(1)若f(x)在上存在單調遞增區間，求a的取值範圍；
(2)當0＜a＜2時，f(x)在[1,4]上的最小值為－，求f(x)在該區間上的最大值．
專題一集合與常用邏輯
用語函式、導數
1．【解析】選b.∵y＝2 (x≥0)，∴＝，∴x＝，互換x、y得y＝(x≥0)，因此y＝2 (x≥0)的反函式為y＝(x≥0)．
2．【解析】選a.∵u＝
＝，p＝＝，
∴up＝＝.
3．【解析】選c.若φ＝0，則＝a＋b，兩邊平方整理，得ab＝0，
且a≥0，b≥0，∴a，b互補．
若a，b互補，則a≥0，b≥0，且ab＝0，
即a＝0，b≥0或b＝0，a≥0，此時都有φ＝0，
∴φ＝0是a與b互補的充要條件．
4．【解析】選》0x>1或x<－1，故x<－1x2－1>0，但x2－1>0/ x<－1，∴「x<－1」是「x2－1>0」的充分而不必要條件．
5．【解析】選b.函式f在點x＝x0處有定義，但f在點x＝x0處不一定連續，如f＝當函式在點x＝x0處連續時，函式在該點一定有定義．
6．【解析】選d.由f＝f可得f＝3f.當x∈時，f＝－x2＋2x，a1＝f＝2－1＝1；當x∈時，x－2∈，∴f＝－2＋2＝－x2＋6x－8，
∴f＝f＝(－x2＋6x－8)，x∈.當x＝3時，a2＝f(3)＝；當x∈時x－4∈，
∴f＝－2＋2＝－x2＋10x－24，
∴f(x)＝f＝f＝(－x2＋10x－24)，x∈.
當x＝5時，a3＝f＝；
…；∴數列是首項為1，公比為的無窮遞縮等比數列．
sn＝＝.
7．【解析】選b.∵y＝x3在定義域r上是奇函式，∴a不對．
y＝－x2＋1在定義域r上是偶函式，但在上是減函式，故c不對．
d中y＝2－|x|＝|x|雖是偶函式，但在上是減函式，只有b對．
8．【解析】選a.∵0當a>0，b>0時，a<；當a<0，b<0時，b>.
∴「0」的充分條件．
而取a＝－1，b＝1，顯然有a<，但不能推出0故「0」的充分而不必要條件．
9．【解析】選b.設m(x)＝f(x)－(2x＋4)，則m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在r上是增函式．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集為，即f(x)>2x＋4的解集為(－1，＋∞)．
10．【解析】選d.∵f(1)＝asin 1＋b＋c，f(－1)＝－asin 1－b＋c，且c是整數，∴f(1)＋f(－1)＝2c是偶數．
在選項中只有d中兩數和為奇數，不可數是d.
11．【解析】選b.觀察圖象易知，a>0，f(x)在[0,1]上先增後減，但在上有增有減且不對稱．
對於選項a，m＝1，n＝1時，f(x)＝ax(1－x)是二次函式，圖象應關於直線x＝對稱，不符合題意．
對於選項b，m＝1，n＝2時，f(x)＝ax(1－x)2＝a(x3－2x2＋x)，f′(x)＝a(3x2－4x＋1)＝a(x－1)(3x－1)，
令f′(x)≥0，得x≥1或x≤，
∴f(x)在上單調遞增，符合題意，選b.
對於選項c，m＝2，n＝1時，f(x)＝ax2(1－x)＝a(x2－x3)，f′(x)＝a(2x－3x2)＝ax(2－3x)，
令f′(x)≥0，得0≤x≤，
∴f(x)在上單調遞增，不符合題意．
對於選項d，m＝3，n＝1時，f(x)＝ax3(1－x)＝a(x3－x4)，f′(x)＝a(3x2－4x3)＝ax2(3－4x)，
令f′(x)≥0，得0≤x≤，
∴f(x)在上單調遞增，不符合題意．
12．【解析】選d.根據定積分的定義，所圍成的封閉圖形的面積為
cos xdx＝sin x－＝sin－sin＝.
13．【解析】選c.因為m＝＝＝，n＝＝＝＝，所以m∩n＝[0,1)．所以選c.
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