數學理科 a
第1講集合及其運算
[最新考綱]
1．了解集合的含義、元素與集合的屬於關係．
2．理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集．
3．理解兩個集合的並集與交集的含義，會求兩個簡單集合的並集與交集．
4．理解在給定集合中乙個子集的補集的含義，會求給定子集的補集．
5．能使用韋恩(venn)圖表達集合的關係及運算.
知識梳理
1．元素與集合
(1)集合中元素的三個特徵：確定性、互異性、無序性．
(2)元素與集合的關係是屬於或不屬於關係，用符號∈或表示．
2．集合間的基本關係
3.集合的基本運算
辨析感悟
1．元素與集合的辨別
(1)若＝，則x＝0,1.(×)
(2)含有n個元素的集合的子集個數是2n，真子集個數是2n－1，非空真子集的個數是2n－2.(√)
(3)若a＝，b＝，則a∩b＝．(×)
2．對集合基本運算的辨別
(4)對於任意兩個集合a，b，關係(a∩b)(a∪b)總成立．(√)
(5)(2013·浙江卷改編)設集合s＝，t＝，則(rs)∪t＝．(×)
(6)(2013·陝西卷改編)設全集為r，函式f(x)＝的定義域為m，則rm＝．(√)
[感悟·提公升]
1．一點提醒求集合的基本運算時，要認清集合元素的屬性(是點集、數集或其他情形)和化簡集合，這是正確求解集合運算的兩個先決條件．如第(3)題就是混淆了數集與點集．
2．兩個防範一是忽視元素的互異性，如(1)；
二是運算不準確，尤其是運用數軸圖示法時要特別注意端點是實心還是空心，如(6)．
3．集合的運算性質：①a∪b＝bab；②a∩b＝aab；③a∪(ua)＝u；④a∩(ua)＝.
考點一集合的基本概念
【【例1】】
【例1】(1)(2013·江西卷)若集合a＝中只有乙個元素，則a＝( )．
a．4 b．2 c．0 d．0或4
(2)(2013·山東卷)已知集合a＝，則集合b＝中元素的個數是( )．
a．1 b．3 c．5 d．9
解析 (1)由ax2＋ax＋1＝0只有乙個實數解，可得當a＝0時，方程無實數解；
當a≠0時，則δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合題意捨去)．
(2)x－y∈．
答案 (1)a (2)c
規律方法集合中元素的三個特性中的互異性對解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值後，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性．
【訓練1】已知a∈r，b∈r，若＝，則a2 014＋b2 014
解析由已知得＝0及a≠0，所以b＝0，於是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根據集合中元素的互異性可知a＝1應捨去，因此a＝－1，故a2 014＋b2 014＝1.
答案 1
考點二集合間的基本關係
【例2】 (1)已知集合a＝，b＝，b＝．若(ua)∩b＝，求m的值．
審題路線 (1)分b＝和b≠兩種情況求解，當b≠時，應注意端點的取值．(2)先求a，再利用(ua)∩b＝ba，應對b分三種情況討論．
解 (1)當b＝時，有m＋1≥2m－1，則m≤2.
當b≠時，若ba，如圖．
則解得2綜上，m的取值範圍是(－∞，4]．
(2)a＝，由(ua)∩b＝，得ba，
∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判別式δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴b≠.
∴b＝或b＝或b＝．
①若b＝，則m＝1；
②若b＝，則應有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，這兩式不能同時成立，
∴b≠；
③若b＝，則應有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由這兩式得m＝2.
經檢驗知m＝1和m＝2符合條件．∴m＝1或2.
規律方法 (1)已知兩個集合之間的關係求引數時，要明確集合中的元素，對子集是否為空集進行分類討論，做到不漏解．
(2)在解決兩個數集關係問題時，避免出錯的乙個有效手段是合理運用數軸幫助分析與求解，另外，在解含有引數的不等式(或方程)時，要對引數進行討論．
【訓練2】(1)已知集合a＝，b＝，b＝，若ba，則實數a的所有可能取值的集合為( )．
a． b． c． d．
解析 (1)由題意知：a＝，b＝．又acb，則集合c可能為，，，．
(2)a＝0時，b＝＝a；a≠0時，b＝a，則－＝－1或－＝1，故a＝0或a＝1或－1.
答案 (1)d (2)d
考點三集合的基本運算
【例3】(1)(2013·湖北卷)已知全集為r，集合a＝，b＝，則a∩rb＝( )．
a． b．
c． d．
(2)(2014·唐山模擬)若集合m＝，集合s＝，則下列各式正確的是( )．
a．m∪s＝m b．m∪s＝s
c．m＝s d．m∩s＝
解析 (1)a＝＝，b＝，所以rb＝，此時a∩rb＝．
(2)m＝，s＝，故選a.
答案 (1)c (2)a
規律方法一般來講，集合中的元素離散時，則用venn圖表示；集合中的元素是連續的實數時，則用數軸表示，此時要注意端點的情況．
【訓練3】(1)已知全集u＝，集合a＝，b＝，則(ua)∪b為( )．
a． b． c． d．
(2)已知全集u＝r，集合a＝，集合b＝，則a∩(ub
解析 (1)ua＝，∴(ua)∪b＝．
(2)由log2(x－2)＜1，得0＜x－2＜2,2＜x＜4，所以b＝．故ub＝，從而a∩(ub)＝．
答案 (1)c (2)
數軸和韋恩(venn)圖是進行集合交、並、補運算的有力工具，數形結合是解集合問題的常用方法，解題時要先把集合中各種形式的元素化簡，使之明確化，盡可能地借助數軸、直角座標系或韋恩圖等工具，將抽象的代數問題具體化、形象化、直觀化，然後利用數形結合的思想方法解決．
創新突破1——與集合有關的新概念問題
【典例】已知集合a＝，b＝，則b中所含元素的個數為( )．
a．3 b．6 c．8 d．10
解析法一(列表法) 因為x∈a，y∈a，所以x，y的取值只能為1,2,3,4,5，故x，y及x－y的取值如下表所示：
由題意x－y∈a，故x－y只能取1,2,3,4，由表可知實數對(x，y)的取值滿足條件的共有10個，即b中的元素個數為10，故選d.
專題一集合與常用邏輯用語 函式 導數
一 選擇題 1 2011年高考大綱全國卷 函式y 2 x 0 的反函式為 a y x rb y x 0 c y 4x2 x rd y 4x2 x 0 2 2011年高考湖北卷 已知u p 則up a.b.c.d.3 2011年高考湖北卷 若實數a，b滿足a 0，b 0，且ab 0，則稱a與b互補，記...
集合與常用邏輯用語
2012北京一摸分類彙編 1.海淀理1 已知集合，且，那麼的值可以是 abcd 2.海淀文1 已知集合，那麼 abcd 3.西城理1 已知全集，集合，則 a bc d 4 西城文1 已知集合，那麼 abcd 5.東城文 理2 若集合，則 是 的 a 充分不必要條件b 必要不充分條件 c 充分必要條件...
集合與常用邏輯用語
2016年高考數學文試題分類彙編 一 集合 1 2016年北京高考 1 已知集合，則 a b c d 答案 c 2 2016年江蘇省高考 已知集合則 答案 3 2016年山東高考 設集合，則 abc d 答案 a 4 2016年四川高考 設集合a z為整數集，則集合a z中元素的個數是 a 6 b ...