如已知函式在區間上至少存在乙個實數，使，求實數的取值範圍。 （答：）
7.四種命題及其相互關係。提醒：（1）互為逆否關係的命題是等價命題，即原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。但原命題與逆命題、否命題都不等價；
（2）在寫出乙個含有「或」、「且」命題的否命題時，要注意「非或即且，非且即或」；
（3）要注意區別「否命題」與「命題的否定」：否命題要對命題的條件和結論都否定，而命題的否定僅對命題的結論否定；
（4）對於條件或結論是不等關係或否定式的命題，一般利用等價關係「」判斷其真假，這也是反證法的理論依據。
（5）哪些命題宜用反證法？如（1）「在△abc中，若∠c=900，則∠a、∠b都是銳角」的否命題為答：在中，若，則不都是銳角）；（2）已知函式，證明方程沒有負數根。
8.充要條件。關鍵是分清條件和結論，由條件可推出結論，條件是結論成立的充分條件；由結論可推出條件，則條件是結論成立的必要條件。
從集合角度解釋，若，則a是b的充分條件；若，則a是b的必要條件；若a=b，則a是b的充要條件。
如（1）給出下列命題：①實數是直線與平行的充要條件；②若是成立的充要條件；③已知，「若，則或」的逆否命題是「若或則」；④「若和都是偶數，則是偶數」的否命題是假命題 。其中正確命題的序號是_______（答：
①④）；
（2）設命題p：；命題q:。若p假是q假的必要而不充分的條件，則實數a的取值範圍是答：）
二、不等式
1、不等式的性質：（1）同向不等式可以相加：若，則（若，則），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；
（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除：若，則（若，則）；異向不等式可以相除，但不能相乘；
（3）左右同正不等式：兩邊可以同時乘方或開方：若，則或；
（4）若，，則；若，，則。
如 （1）對於實數中，給出下列命題則。其中正確的命題是______（答：②③⑥⑦⑧）；
（2）已知，，則的取值範圍是______（答：）；
（3）已知，且則的取值範圍是______（答：）
2. 不等式大小比較的常用方法：（1）作差：
作差後通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果；（2）作商（常用於分數指數冪的代數式）；（3）平方法（適用於「同為正」，比如平方去算術根、絕對值，再做做差比大小）；（4）分子（或分母）有理化；（5）利用函式的單調性；（6）尋找中間量或放縮法 ；(7)圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。
如（1）設，比較的大小（答：當時，（時取等號）；當時，（時取等號））；
（2）設，，，試比較的大小（答：）；
（3）比較1+與的大小（答：當或時，1+＞；當時，1+＜；當時，1+＝）
（4）（<）
3. 利用重要不等式求函式最值時，你是否注意到：「一正二定三相等，和定積最大，積定和最小」的方針。
如（1）下列命題中正確的是（ ）
a、的最小值是2 b、的最小值是2 c、的最大值是 d、的最小值是 （答：c）；
（2）若，則的最小值是______（答：）；
（3）正數滿足，則的最小值為______（答：）；
（4）如果正數、滿足，則的取值範圍是答：）
4.了解幾個推廣的不等式：（1）(根據目標不等式左右的運算結構選用) ；（2）a、b、cr，（當且僅當時，取等號）；（3）若，則（糖水的濃度問題）。
5、了解證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法，上海卷的不等式問題，一般由做差法均能處理.
6. 一元一次不等式的解法：通過去分母、去括號、移項、合併同類項等步驟化為的形式，若,則；若,則；若,則當時，；當時，。
如已知關於的不等式的解集為，則關於的不等式的解集為_______（答：）
7. 一元二次不等式的解集（聯絡圖象）。尤其當和時的解集你會正確表示嗎？設,是方程的兩實根，且，則其解集如下表：
如解關於的不等式：。（答：當時，；當時，或；當時，；當時，；當時，）
8.分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通分並將分子分母分解因式，並使每乙個因式中最高次項的係數為正。
注意：解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。
9.絕對值不等式的解法：（1）分段討論法（最後結果應取各段的並集）：
如解不等式（答：）；（2）利用絕對值的定義；（3）數形結合；如解不等式（答：）（4）兩邊平方：
如若不等式對恆成立，則實數的取值範圍為______。（答：）
9、含引數不等式的解法：求解的通法是「定義域為前提，函式增減性為基礎，分類討論是關鍵．」注意解完之後要寫上：「綜上，原不等式的解集是…」。
注意：按引數討論，最後應按引數取值分別說明其解集；但若按未知數討論，最後應求並集.
如解不等式（答：時， ；時，或；時，或）
提醒：（1）若解不等式是求不等式的解集，最後務必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義範圍的端點值。如關於的不等式的解集為，則不等式的解集為答：
（－1,2））
10.指數、對數不等式，注意單調性，以及對數函式的定義域
如：若，則的取值範圍是答：或）；
11.不等式的恆成立,能成立,恰成立等問題：不等式恆成立問題的常規處理方式？（常應用函式方程思想和「分離變數法」轉化為最值問題，也可抓住所給不等式的結構特徵，利用數形結合法）
1).不等式恆成立問題
若不等式在區間上恆成立,則等價於在區間上
若不等式在區間上恆成立,則等價於在區間上
如（1）設實數滿足，當時，的取值範圍是______（答：）；
（2）不等式對一切實數恆成立，求實數的取值範圍_____（答：）；
（3）若不等式對滿足的所有都成立，則的取值範圍_____（答：（,））；
（4）若不等式對於任意正整數恆成立，則實數的取值範圍是_____（答：）；（5）若不等式對的所有實數都成立，求的取值範圍.（答：）
2). 不等式能成立問題（即有解）
若在區間上存在實數使不等式成立,則等價於在區間上；
若在區間上存在實數使不等式成立,則等價於在區間上的.
如已知不等式在實數集上的解集不是空集，求實數的取值範圍______（答：）
3). 不等式恰成立（即為解集）
若不等式在區間上恰成立, 則等價於不等式的解集為；
若不等式在區間上恰成立, 則等價於不等式的解集為.
12. 對於方程有實數解的問題，需注意x的範圍：
對於時，首先要討論最高次項係數是否為0，其次若，則一定有。對於多項式方程、不等式、函式的最高次項中含有引數時，你是否注意到同樣的情形？
對於時，往往需要「分離法」轉化為求函式值域問題；或者由「二次方程根的分布」結合函式影象解決。
如：（1）對一切恆成立，則的取值範圍是_______（答：）；
（2）關於的方程有解的條件是什麼？(答：，其中為的值域)，特別地，若在內有兩個不等的實根滿足等式，則實數的範圍是_______.（答：）
13.一元二次方程根的分布理論。方程在（1）上有兩根（右圖）、（2）在上有兩根、（3）在和上各有一根的充要條件分別是什麼？
（答：（1）、（2）、（3））。
注意：根的分布理論成立的前提是開區間，若在閉區間討論方程有實數解的情況，可先利用在開區間上實根分布的情況，得出結果，再令和檢查端點的情況．
如實係數方程的一根大於0且小於1，另一根大於1且小於2，則的取值範圍是答：（，1））
14.二次方程、二次不等式、二次函式間的聯絡你了解了嗎？二次方程的兩個根即為二次不等式的解集的端點值，也是二次函式的圖象與軸的交點的橫座標。
如（1）不等式的解集是，則答：）；
（2）若關於的不等式的解集為，其中，則關於的不等式的解集為________（答：）；
（3）不等式對恆成立，則實數的取值範圍是_______（答：）。
14.分式不等式、含絕對值記號的不等式、指數、對數不等式的解法
15.了解簡單的一元高次不等式的解法：標根法：
其步驟是：（1）分解成若干個一次因式的積，並使每乙個因式中最高次項的係數為正；（2）將每乙個一次因式的根標在數軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；並注意奇穿過偶（切）彈回；（3）根據曲線顯現的符號變化規律，寫出不等式的解集。
如（1）解不等式。（答：或）；
（2）不等式的解集是____（答：或）；
（3）設函式、的定義域都是r，且的解集為，的解集為，則不等式的解集為______（答：）；
（4）要使滿足關於的不等式（解集非空）的每乙個的值至少滿足不等式中的乙個，則實數的取值範圍是______.（答：）
三．函式
1．函式的定義：注意：（1）定義域和值域都是非空數集；（2）求值域時，值域寫成集合形式！
據兩個變數的對應關係此可知，函式影象與軸的垂線至多有乙個公共點，但與軸垂線的公共點可能沒有，也可能有任意個。
如1）已知函式，，那麼集合中所含元素的個數有個（答： 0或1）；
2）若函式的定義域、值域都是閉區間，則＝ （答：2）
3)同一函式的概念。構成函式的三要素是定義域，值域和對應法則。而值域可由定義域和對應法則唯一確定，因此當兩個函式的定義域和對應法則相同時，它們一定為同一函式。
如若一系列函式的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函式為「天一函式」，那麼解析式為，值域為的「天一函式」共有______個（答：9）
2.函式的和運算與積運算,注意：和（積）函式的定義域取交集。
如已知函式, , 則=_____
3. 求函式定義域的常用方法（注意：在研究函式問題時要樹立定義域優先的原則）：
（1）根據解析式要求如偶次根式的被開方大於零，分母不能為零，對數中且，三角形中, 最大角，最小角等。
如1）函式的定義域是____(答：)；
2）若函式的定義域為r，則_______(答：)；
3）函式的定義域是，，則函式的定義域是答：)；
高中數學必修一集合知識點梳理
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