指數函式
1．指數函式的定義：
函式叫做指數函式，其中x是自變數，函式定義域是r
2.指數函式的圖象和性質：
在同一座標系中分別作出函式y=，y=，y=，y=的圖象.
我們觀察y=，y=，y=，y=圖象特徵，就可以得到的圖象和性質。
指數函式是高中數學中的乙個基本初等函式，有關指數函式的圖象與性質的題目型別較多，同時也是學習後續數學內容的基礎和高考考查的重點，本文對此部分題目型別作了初步總結，與大家共同**．
1．比較大小
例1 已知函式滿足，且，則與的大小關係是_____．
分析：先求的值再比較大小，要注意的取值是否在同一單調區間內．
解：∵，
∴函式的對稱軸是．
故，又，∴．
∴函式在上遞減，在上遞增．
若，則，∴；
若，則，∴．
綜上可得，即．
評注：①比較大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函式的單調性或中間量等．②對於含有引數的大小比較問題，有時需要對引數進行討論．
2．求解有關指數不等式
例2 已知，則x的取值範圍是
分析：利用指數函式的單調性求解，注意底數的取值範圍．
解：∵，
∴函式在上是增函式，
∴，解得．∴x的取值範圍是．
評注：利用指數函式的單調性解不等式，需將不等式兩邊都湊成底數相同的指數式，並判斷底數與1的大小，對於含有引數的要注意對引數進行討論．
3．求定義域及值域問題
例3 求函式的定義域和值域．
解：由題意可得，即，
∴，故． ∴函式的定義域是．
令，則，
又∵，∴． ∴，即．
∴，即．
∴函式的值域是．
評注：利用指數函式的單調性求值域時，要注意定義域對它的影響．
4．最值問題
例4 函式在區間上有最大值14，則a的值是_______．
分析：令可將問題轉化成二次函式的最值問題，需注意換元後的取值範圍．
解：令，則，函式可化為，其對稱軸為．
∴當時，∵，
∴，即．
∴當時，．
解得或（捨去）；
當時，∵，
∴，即，
∴時，，
解得或（捨去），∴a的值是3或．
評注：利用指數函式的單調性求最值時注意一些方法的運用，比如：換元法，整體代入等．
5．解指數方程
例5 解方程．
解：原方程可化為，令，上述方程可化為，解得或（捨去），∴，∴，經檢驗原方程的解是．
評注：解指數方程通常是通過換元轉化成二次方程求解，要注意驗根．
6．圖象變換及應用問題
例6 為了得到函式的圖象，可以把函式的圖象（ ）．
a．向左平移9個單位長度，再向上平移5個單位長度
b．向右平移9個單位長度，再向下平移5個單位長度
c．向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度
d．向右平移2個單位長度，再向下平移5個單位長度
分析：注意先將函式轉化為，再利用圖象的平移規律進行判斷．
解：∵，∴把函式的圖象向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度，可得到函式的圖象，故選（c）．
評注：用函式圖象解決問題是中學數學的重要方法，利用其直觀性實現數形結合解題，所以要熟悉基本函式的圖象，並掌握圖象的變化規律，比如：平移、伸縮、對稱等．
習題1、比較下列各組數的大小：
（1）若 ，比較與 ；
（2）若 ，比較與 ；
（3）若 ，比較與 ；
（4）若 ，且 ，比較a與b；
（5）若 ，且 ，比較a與b．
解：（1）由 ，故 ，此時函式為減函式．由 ，故 ．
（2）由 ，故 ．又 ，故 ．從而 ．
（3）由 ，因 ，故 ．又 ，故 ．從而 ．
（4）應有 ．因若 ，則 ．又 ，故 ，這樣 ．又因 ，故 ．從而 ，這與已知矛盾．
（5）應有 ．因若 ，則 ．又 ，故 ，這樣有 ．又因 ，且 ，故 ．從而 ，這與已知矛盾．
小結：比較通常借助相應函式的單調性、奇偶性、圖象來求解．
2，曲線分別是指數函式 , 和的圖象,則與1的大小關係是 ( ).
(分析:首先可以根據指數函式單調性,確定 ,在軸右側令 ,對應的函式值由小到大依次為 ,故應選 .
小結:這種型別題目是比較典型的數形結合的題目,第(1)題是由數到形的轉化,第(2)題則是由圖到數的翻譯,它的主要目的是提高學生識圖,用圖的意識.
求最值3，求下列函式的定義域與值域.
(1)y＝2; (2)y＝4x+2x+1+1.
解：(1)∵x-3≠0，∴y＝2的定義域為｛x｜x∈r且x≠3｝.又∵≠0，∴2≠1，
∴y＝2的值域為｛y｜y>0且y≠1｝.
(2)y＝4x+2x+1+1的定義域為r.∵2x>0,∴y＝4x+2x+1+1＝(2x)2+2·2x+1＝(2x+1)2>1.
∴y＝4x+2x+1+1的值域為｛y｜y>1｝.
4，已知-1≤x≤2,求函式f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值
解：設t=3x,因為-1≤x≤2，所以，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故當t=3即x=1時，f(x)取最大值12，當t=9即x=2時f(x)取最小值-24。
5、設 ，求函式的最大值和最小值．
分析：注意到 ，設 ，則原來的函式成為 ，利用閉區間上二次函式的值域的求法，可求得函式的最值．
解：設 ，由知，
，函式成為 ， ，對稱軸 ，故函式最小值為 ，因端點較距對稱軸遠，故函式的最大值為 ．
6．（9分）已知函式在區間[－1,1]上的最大值是14，求a的值.
．解：， 換元為，對稱軸為.
當，，即x=1時取最大值，略
解得 a=3 (a= －5捨去)
7．已知函式 （ 且 ）
（1）求的最小值； （2）若 ，求的取值範圍．
．解：（1） ， 當即時， 有最小值為
（2） ，解得
當時， ；
當時， ．
8（10分）（1）已知是奇函式，求常數m的值；
（2）畫出函式的圖象，並利用圖象回答：k為何值時，方程|3ｘ－１｜＝k無
解？有一解？有兩解？
解： （1）常數m=1
（2）當k<0時，直線y=k與函式的圖象無交點,即方程無解;
當k=0或k1時, 直線y=k與函式的圖象有唯一的交點，所以方程有一解;
當09．若函式是奇函式，求的值．
．解： 為奇函式， ，
即 ，則 ，10. 已知9x-10.3x+9≤0，求函式y=（）x-1-4·（）x+2的最大值和最小值
解：由已知得（3x）2-10·3x+9≤0 得（3x-9）（3x-1）≤0
∴1≤3x≤9 故0≤x≤2
而y=()x-1-4·()x+2= 4·（）2x-4·（）x+2
令t=（）x（）
則y=f（t）=4t2-4t+2=4（t-）2+1
當t=即x=1時，ymin=1
當t=1即x=0時，ymax=2
11．已知 ，求函式的值域．
解：由得 ，即 ，解之得 ，於是 ，即 ，故所求函式的值域為
12. (9分)求函式的定義域，值域和單調區間
定義域為r 值域（0，8〕。（3）在（-∞， 1〕上是增函式
在〔1，+∞）上是減函式。
13 求函式y＝的單調區間.
分析這是復合函式求單調區間的問題
可設y＝,u＝x2-3x+2，其中y＝為減函式
∴u＝x2-3x+2的減區間就是原函式的增區間(即減減→增)
u＝x2-3x+2的增區間就是原函式的減區間(即減、增→減)
解：設y＝,u＝x2-3x+2,y關於u遞減，
當x∈(-∞，)時，u為減函式，
∴y關於x為增函式；當x∈［，+∞)時，u為增函式，y關於x為減函式.
14 ，已知函式f(x)＝(a>0且a≠1).
(1)求f(x)的定義域和值域；(2)討論f(x)的奇偶性；(3)討論f(x)的單調性.
解：(1)易得f(x)的定義域為｛x｜x∈r｝.
設y＝,解得ax＝-①∵ax>0當且僅當->0時，方程①有解.解->0得-1∴f(x)的值域為｛y｜-1＜y＜1.
(2)∵f(-x)＝＝＝-f(x)且定義域為r，∴f(x)是奇函式.
(3)f(x)＝＝1-.
1°當a>1時，∵ax+1為增函式，且ax+1>0.
∴為減函式，從而f(x)＝1-＝為增函式.2°當015、已知函式f（x）=a－（a∈r），
（1） 求證：對任何a∈r，f（x）為增函式．
（2） 若f（x）為奇函式時，求a的值。
（1）證明：設x1＜x2
f（x2）－f（x1）=＞0
故對任何a∈r，f（x）為增函式．
（2），又f（x）為奇函式
得到。即
16、定義在r上的奇函式有最小正週期為2，且時，
（1）求在[－1，1]上的解析式；（2）判斷在（0，1）上的單調性；
（3）當為何值時，方程=在上有實數解.
解（1）∵x∈r上的奇函式 ∴
又∵2為最小正週期 ∴
設x∈（－1，0），則－x∈（0，1），
∴（2）設0∴在（0，1）上為減函式。
（3）∵在（0，1）上為減函式。
∴ 即
同理在（－1，0）時，
又∴當或時
在[－1，1]內有實數解。
函式y＝a｜x｜(a>1)的影象是( )
分析本題主要考查指數函式的影象和性質、函式奇偶性的函式影象，以及數形結合思想和分類討論思想.
解法1：(分類討論)：
去絕對值，可得y＝
又a>1，由指數函式影象易知，應選b.
解法2：因為y＝a｜x｜是偶函式，又a>1，所以當x≥0時，y＝ax是增函式；x＜0時，y＝a-x是減函式.
高一之指數函式經典例題
指數函式 1 比較大小 例1 已知函式滿足，且，則與的大小關係是 分析 先求的值再比較大小，要注意的取值是否在同一單調區間內 解 函式的對稱軸是 故，又，函式在上遞減，在上遞增 若，則，若，則，綜上可得，即 評注 比較大小的常用方法有 作差法 作商法 利用函式的單調性或中間量等 對於含有引數的大小比...
指數函式對數函式經典題目
考點清單 一 指數函式的定義 函式叫做指數函式。二 指數函式的圖象和性質 三 比較冪值的大小 比較冪值的大小是一種常見的題型，其型別如下 1 底數相同 利用函式的單調性進行比較 2 指數相同 方法一 可轉化為底數相同進行比較 方法二 可借助函式影象進行比較。指數函式在同一直角座標系中的影象與底數大小...
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