高二數學（理科）周考題
使用時間：2015-05-11 編印者：趙永珍審定者：王利哲
一、選擇題(每小題7分，共42分)
1．設f(x)在(a，b)內可導，則f′(x)<0是f(x) 在(a，b)內單調遞減的( a )
a．充分不必要條件 b．必要不充分條件 c．充要條件 d．既不充分又不必要條件
2．曲線y＝cosx(0≤x≤π)與座標軸所圍成的面積為( b ) a．2 b．3 c. d．4
3．y＝loga(2x2－1)的導數是( a )
a. b. c. d.
4．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，又歸納推理可得：若定義在r上的函式f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導函式，則g(－x)＝( d )
a．f(x) b．－f(xc．g(x) d．－g(x)
5．三次函式當x＝1時，有極大值，當x＝3時，有極小值，且函式的圖象過原點，則該三次函式為( b ) a．y＝x3＋6x2＋9x b．y＝x3－6x2＋9x c．y＝x3－6x2－9x d．y＝x3＋6x2－9x
6．函式f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)內有最小值，則a的取值範圍是( b )
a．0≤a<1 b．0二、填空題(每小題7分，共28分)
7．曲線y＝ sin2x在點m(π，0)處的切線方程是________．y＝2(x－π)
8．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(0)等於4
9．已知函式f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋m，在r上的極大值為20，則實數m7
10．用數學歸納法證明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈n*)的過程如下：
①當n＝1時，左邊＝20＝1，右邊＝21－1＝1，等式成立．
②假設n＝k(k≥1，且k∈n*)時，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1.
則當n＝k＋1時，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，
所以當n＝k＋1時，等式也成立．
由①②知，對任意n∈n*，等式成立．
上述證明中的錯誤是________．沒有用上歸納假設
三、解答題：
11．設f(x)＝(t2＋2t－8)dt. (1)求f(x)的單調區間；(2)求f(x)在[1,3]上的最值．
解 f(x)＝(t2＋2t－8)dt＝＝x3＋x2－8x，定義域是(0，＋∞)．
(1)f′(x)＝x2＋2x－8＝(x＋4)(x－2)，
∵當x<－4或x>2時，f′(x)>0；
當－4又∵x>0，∴函式的增區間為(2，＋∞)，減區間為(0,2)．
(2)令f′(x)＝0，得x＝2(x＝－4捨去)．
又f(1)＝－，f(2)＝－，f(3)＝－6，
∴f(x)在[1,3]上的最大值為－6，最小值是－.
12．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有乙個方程有實根，求實數a的取值範圍．
解設三個方程均無實根，則有
解得∴－所以當a≥－1，或a≤－時，三個方程至少有乙個方程有實根．
13．求證：ac＋bd≤·.
證明 (1) 當ac＋bd<0時，ac＋bd≤·顯然成立．
(2) 當ac＋bd≥0時，要證ac＋bd≤·成立，
只需證(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)成立，只需證2abcd≤a2d2＋b2c2，
只需證(ad－bc)2≥0成立．
而(ad－bc)2≥0顯然成立．
∴ac＋bd≤·成立．
綜上所述ac＋bd≤·成立．
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