83．數列、函式的極限（選）
一、考試大綱掃瞄
1．了解數列極限和函式極限的概念．
2．掌握極限的四則運算法則；會求某些數列與函式的極限．
3．了解函式連續的意義，了解閉區間上連續函式有最大值和最小值的性質．
二、知識梳理與方法提煉
1．數列極限
（1）數列極限的概念：一般地，如果當項數無限增大時，無窮數列的項無限趨近於某個常數，那麼叫做數列的極限，記作。
（2）數列的極限運算：如果，那麼
；； 注：在使用數列極限的運算法則時，必須注意以下兩點：
(a)參與運算的每乙個數列的極限都是存在的；
(b)參與運算的數列的個數必須是有限個；
（c）若參與運算的數列的個數是無限個，則先求和整理，再求極限。
（3）幾個重要的極限
（c為常數
（4）無窮等比數列各項的和
在無窮等比數列中，如果，表示其前項和，那麼我們稱為這個無窮等比數列各項的和，且。
注：若乙個等比數列的各項的和存在，則蘊含著其公比滿足。
2.函式極限
（1）當時函式的極限:
當自變數取正值並且無限增大時,如果函式無限趨近於乙個常數,就說當趨向於正無窮大時, 函式的極限是,記作,(或時,→)
當自變數x取負值並且無限增大時,如果函式無限趨近於乙個常數,就說當趨向於負無窮大時, 函式的極限是,記作,(或→-∞時,→)
注：自變數→+∞和→-∞都是單方向的，而→∞是雙向的，故有以下等價命題
（2）當時函式的極限:
如果當從點左側（即）無限趨近於時，函式無限趨近於常數。就說是函式的左極限，記作。
如果當從點右側（即）無限趨近於時，函式無限趨近於常數。就說是函式的右極限，記作。
當自變數無限趨近於常數（但）時，如果函式無限趨近於乙個常數，就說當趨向於時, 函式的極限是,記作,(或時,→a)
注：（）。並且可作為乙個判斷函式在一點處有無極限的重要工具。
(b)與函式在點處是否有定義及是否等於都無關。
（3）函式極限的四則運算：
如果，，那麼
； ； （b≠0）
3.函式的連續性
一般地，函式在點處連續必須同時滿足下面三個條件：
（1）函式在點處有定義；
（2）存在；
（3），即函式在點處的極限值等於這一點的函式值。
4.數列極限常見題型
（1）分子和分母都是關於的多項式的極限，呈「」型，通常同除以的最高指數項；
（2）分子或分母中含有無理式求極限時，先對分子或分母進行有理化進行轉化；
（3）所求極限式為項的和（或積），通常先求和（或積）化簡，再求極限；
（4）型，分子分母同除以底數絕對值較大的項，然後利用極限四則運算求解。
5.函式極限常見題型
（1）當時，求函式的極限：
若出現「」型，分子分母同除以的最高次冪，再利用（k>0）求極限；
若出現「」型，先變形，再求極限，變形手段：通分、因式分解、有理化等；
（2）當時，求函式的極限:
若在函式的定義域中，則只需將代入解析式中即可；
函式在處沒有定義，若是「」型，先變形，約去極限為0的因式，再求極限；若是「」型，先變形，再求極限。常見變形方法：因式分解、分子或分母有理化等。
6.極限的逆向問題，一般從極限入手，運用逆向思維，確定有關字母的取值或取值範圍。
三、知識熱身
1．函式的不連續點是（ c ）
a． b． c．或 d．
2．等於（ d ）
a． b．1 c． d．
3． =_____3______
45．等於
6下列極限式中正確的是
① ②
③=－1 ④（c為常數）
四、典型例題解析
例1.求下列數列的極限。
（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）
分析：針對數列極限的常見形式，掌握必要的一些處理手段。（1）和（2）是「」型；
（3）型；（4）、（5）、（6）是無窮項求極限。
精講：（1）
（2）（3）
（4）（5）
評析：掌握一些必要的數列極限求法，再具體情況具體分析，是我們能夠有備無患的制勝法寶。
例2．求下列函式的極限。
（1）（2）
（3）（4）
分析：此例針對函式極限常見形式，掌握一些必要的處理手段。（1）直接代入，（2）通分、約去零因子，（3）有理化、約去零因子，（4）通分，同除以最高次冪。
精講：（1）
（2）（3）
（4）評析：數列是特殊的函式，通過本例，我們需要學會常見函式極限的處理手段。
例3.求滿足下列條件的引數取值。
(1) 已知求、的值。
（2）已知，求、的值。
（3）已知，若存在，求b的值。
（4）已知，求實數的取值範圍。
分析：本例四個題目都是關於極限和連續的逆向問題，關鍵是掌握基本型別的求法，然後利用逆行思維進行求解。
精講：（1）
欲使原式，則，即。
（2）因為，所以必含有因式，故另外乙個因式必然為，即，所以
即。（3）因為，所以，
，又存在，即，故。
（4）當時，，不合題意；
當時，，合題；
當時，，不合題意；
當時，不存在極限，不合題意；
綜上：評析：上述四個題目都是求極限的逆向問題，關鍵是掌握極限的定義，運用逆向思維，並酌情進行討論。
例4.（1）判斷函式在其定義域內的連續性。
（2）已知在區間上連續，求、的值。
分析：由於基本初等函式在其定義域中均連續，故考察函式是否連續，只需分析函式在分段點的極限值是否等於該點的函式值。
精講：（1）因為在各段由初等函式構成，故只需考察點
又，，而，
即，故函式在處連續；
又，，而，
即，故函式在處連續；
綜上函式在其定義域r上連續。
（2）原函式在各分段均由初等函式及其四則運算構成，故只需考察點。
因為，，
，在處連續，則；
又，，故有。
五、能力提公升
1.的值為（ ｃ ）
a．1 b．０ ｃ.-1
提示：題目中去負數，故選ｃ
2．等比數列的首項，前項和為，若，則等於（ b ）
abcd．
提示：，得到公比，從而利用無窮等比數列極限，求出答案b
3．（09四川高考）已知函式在點處連續，則的值為（ b ）
3c提示：根據連續定義找出左右極限，從而求出引數。
４．已知a、b、c是實數，且=2, =3，則的值是 ６
5． _____1_______
6．已知函式在點處連續，則______
7．求下列式子的極限
（1）（2）
（3）（4）
（5）解：（1）
（2）（3）
（4）（5）因為，所以
8．根據下列條件求值。
（1）為常數，，求的值；
（2）若存在且不為0，求k的值；
（3）為多項式，且，，求。
（4）已知函式在上連續，求實數的值。
解：（1）
因為，所以，所以
（2）又因為存在且不為0，故
（3）因為，故設
又因為，而，
故有，即
（4）因為在各段由初等函式構成，故只需考察點
又，，故
又，，故
9．已知無窮等比數列的首項為a1，公比為q，且其所有項的和存在，
（1）若，求的範圍；
（2）若，求公比的範圍；
（3）若（－qn）=，求首項a1的取值範圍.
解：因為無窮等比數列的所有項之和存在，所以，
（1）因為，即
所以（2）因為，即，即
當時，；當時，
（3）因為，∴一定存在.∴0＜|q|＜1或q=1.
當q=1時，－1=,∴a1=3.
當0＜|q|＜1時，由（－qn）=得=,∴2a1－1=q.
∴0＜|2a1－1|＜1.∴0＜a1＜1且a1≠.
綜上,得0＜a1＜1且a1≠或a1=3.
10．已知數列有，對任意的，有。
（1）求的值； （2）判斷數列是否為等差數列；
（3）對於數列，假如存在乙個常數使得對任意的都有且，則稱為數列的「上漸近值」。令，求數列的
「上漸近值」。
解：（1）因為，所以當時，，即；
（2）是等差數列。
因為，，所以，
即 ，同理則有 ，
—有：，即，故是等差數列。
（3）由（2），是等差數列，且，所以，，故，故
又，故的「上漸近值」為3。
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